Fiche de cours : Topologie de R²

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 25/05/2022
topologie de R²

Vous étudiez actuellement la topologie de R² ? Pas de panique ! Grâce à cette fiche de cours dédiée à la notion de topologie de R², vous pourrez maîtriser cette notion sur le bout des doigts et ainsi réussir vos prochaines interrogations écrites et orales !

 

Topologie de

Définition : Norme euclidienne sur

La norme euclidienne de \mathbb{R}^2 est l’application \left\| \cdot \right\| définie par :

    \[\forall X = \left( x, y \right) \in \mathbb{R}^2, \quad \left\| X \right\| = \sqrt{x^2 + y^2}\]

Ainsi la norme euclidienne mesure la distance de X au point O de coordonnées \left( 0 , 0      \right).

Proposition : Propriétés de la norme euclidienne

La norme euclidienne a les propriétés suivantes.
  • Positivité : pour tout X \in \mathbb{R}^2, on a \left\| X \right\| \ge 0 ;
  • Séparation : pour tout X \in \mathbb{R}^2, \left\| X \right\|=0 implique X=0 ;
  • Homogène : pour tout \left( \lambda , X \right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2, \left\| \lambda X \right\| = \left| \lambda \right| \left\| X \right\| ;
  • Inégalité triangulaire : pour tout \left( X, Y \right) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2, \left\| X + Y \right\| \le \left\| X \right\| + \left\| Y \right\|.
  • Démonstration

  • C’est clair.
  • Si \left\| X \right\| = 0, en notant X = \left( x, y \right), alors x^2 + y^2  = 0, d’où x = y  = 0 car une somme de réels positifs est nulle si, et seulement si, tous les réels sont nuls.
  • C’est clair car \sqrt{\lambda^2} = \left| \lambda \right|.
  • On pose X = \left( x_1, y_1 \right) et Y = \left( x_2, y_2 \right). On raisonne par équivalence :

        \begin{eqnarray*} &{}&   \sqrt{\left(x_1^2 + y_1^2 \right)^2 + \left( x_2^2 + y_2^2 \right)^2} \le \sqrt{x_1^2 + y_1^2} + \sqrt{x_2^2 + y_2^2} \\ &\iff&  \left(x_1 + y_1 \right)^2 + \left( x_2 + y_2 \right)^2 \le x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 + 2 \sqrt{\left(  x_1^2 + y_1^2  \right) \left( x_2^2 + y_2^2 \right)} \\ &\iff&  x_1y_1 + x_2 y_2  \le \sqrt{\left(  x_1^2 + y_1^2  \right) \left( x_2^2 + y_2^2 \right)}. \end{eqnarray*}


    Cette dernière inégalité est vraie : c’est l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans \mathbb{R}^2 muni de son produit scalaire usuel.
  • Définition : Boule ouverte

    Soient a \in \mathbb{R}^2 et r > 0. On appelle la boule ouverte de centre a et de rayon r, notée B \left( a,  r \right), le sous-ensemble de \mathbb{R}^2 défini par :

        \[B \left( a , r \right) = \left\{ x \in \mathbb{R}^2, \; \left\| x - a \right\| < r \right\}.\]

    Définition : Ouvert de

    Soit O \subset \mathbb{R}^2. On dit que O est un ouvert de \mathbb{R}^2 (ou une partie ouverte de \mathbb{R}^2) si O est vide ou si :

        \[\forall a \in O , \exists \varepsilon > 0, \quad B \left( a, \varepsilon \right) \subset O.\]

    Exemples

  • Les boules ouvertes sont des ouverts de \mathbb{R}^2.
  • Le demi-plan \left\{ \left( x,  y \right) \in \mathbb{R}^2, \; x > 0 \right\} est un ouvert de \Rmathbb{R}2.
  • Une union quelconque d’ouverts de \mathbb{R}^2 est un ouvert de \mathbb{R}^2, alors qu’une intersection finie d’ouverts de \mathbb{R}^2 est un ouvert de \mathbb{R}^2.
  • livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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