Si tu fais des mathématiques en Terminale, ne bouge pas ! Notre fiche de cours devrait t’intéresser. On te parle d’un des théorèmes les plus importants à connaître pour le bac : le théorème des valeurs intermédiaires (ou TVI pour les intimes), un concept clé qui permet d’explorer les variations d’une fonction continue sur un intervalle donné. Donc accroche-toi bien et c’est parti ! 🎢
Le théorème des valeurs intermédiaires, c’est quoi ? 👀
Définition 📖
Théorème 📜
Soit une fonction continue sur un intervalle et soient et deux réels de .
Pour tout réel k compris entre et , il existe au moins un réel compris entre et tel que .
Autrement dit, quand on a un nombre entre et , alors il existe au moins un antécédent au nombre .
Il existe au moins un nombre de l’intervalle tel que
Graphique 📈
Ici, est bien compris entre et et il existe 3 antécédents dans notre cas de figure : , et !
💡 Rappel
Comme son nom l’indique, une fonction continue est une fonction dont la courbe ne fait aucun saut. Tu ne lèves pas la main quand tu traces la courbe.
Cas particulier ☝️
Prenons le cas particulier d’une fonction continue strictement monotone, c’est-à-dire soit strictement croissante, soit strictement décroissante. C’est le corollaire au théorème des valeurs intermédiaires, qu’on l’appelle également le théorème de bijection.
Avant de te le présenter, voici un rappel de ce que sont une fonction monotone et une fonction non monotone.
↪️ Exemple fonction monotone décroissante
↪️ Exemple fonction monotone croissante
↪️ Exemple d’une fonction non monotone
Corollaire (TVI appliqué aux fonctions strictement monotones)
Soit une fonction continue et strictement monotone sur .
Pour tout réel compris entre et , il existe un réel tel que
Dans ce cas particulier, il y a donc un seul antécédent !
Graphique 📉
Dans ce cas, notre fonction est strictement croissante. On a bien compris entre et et nous avons un unique antécédent c tel que .
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Méthode d’application du TVI et de son corollaire 🤓
Tu peux avoir plusieurs types de questions en exercices.
Question sur le TVI ❓
Énoncé
Démontrer que l’équation admet au moins une solution sur l’intervalle
Méthode
1. Tu vérifies que la fonction est continue sur l’intervalle
2. Tu trouves a et b sur l’intervalle I tel que
car comme la fonction est continue, elle va prendre toutes les valeurs intermédiaires entre et . Et donc elle va prendre la valeur k.
3. Tu conclus : d’après le théorème des valeurs intermédiaires, f(x)=k admet au moins une solution sur l’intervalle
Question sur le corollaire du TVI ❓
Énoncé
Démontrer que l’équation admet exactement une solution sur l’intervalle
Méthode
1. Tu vérifies que la fonction est continue sur l’intervalle
2. Tu fais un tableau de variations à l’aide de la dérivée.
3. Tu conclus : d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet exactement une solution sur l’intervalle
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Exercices ✍️
On espère que tu as bien retenu les étapes, car maintenant c’est à toi de les appliquer !
Exercice 1
Soit la fonction
Démontre que l’équation admet au moins une solution sur l’intervalle
Exercice 2
Soit
Montre qu’il existe sur unique solution sur l’intervalle pour
Corrigés 💯
Corrigé 1
1. On vérifie que la fonction est continue sur l’intervalle .
La fonction est un polynôme.
Les polynômes sont continus sur l’ensemble des réels.
La fonction est donc continue sur l’intervalle
2. On trouve et sur l’intervalle tel que
et sont de signes opposés, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence d’au moins une solution dans l’intervalle tel que
.
3. On conclut.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, admet au moins une solution sur l’intervalle
Corrigé 2
1. On vérifie que la fonction est continue sur l’intervalle .
La fonction est un polynôme et les polynômes sont continus sur l’ensemble des réels. La fonction est donc continue sur l’intervalle.
2. On fait un tableau de variations
quand et est négatif de à , puis positif de à
Pour l’intervalle
On sait que sur l’intervalle la fonction est strictement croissante.
est bien compris dans l’intervalle.
3. On conclut.
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, comme la fonction est strictement croissante sur l’intervalle , alors l’équation admet exactement une solution sur cet intervalle.
Voilà ! Notre fiche de mathématiques sur le théorème des valeurs intermédiaires touche à sa fin. On espère qu’elle t’aura aidé à mieux comprendre et à appliquer ce théorème très important. Si tu as encore des difficultés ou que tu veux exceller en maths, prends des cours particuliers avec un Sherpa !