📈 Théorème des valeurs intermédiaires {Maths}

Si tu fais des mathématiques en Terminale, ne bouge pas ! Notre fiche de cours devrait t’intéresser. On te parle d’un des théorèmes les plus importants à connaître pour le bac : le théorème des valeurs intermédiaires (ou TVI pour les intimes), un concept clé qui permet d’explorer les variations d’une fonction continue sur un intervalle donné. Donc accroche-toi bien et c’est parti ! 🎢

Des montagnes russes. — *Ce moment où tu es bien content que la courbe soit continue*

Le théorème des valeurs intermédiaires, c’est quoi ? 👀

Définition 📖

Théorème 📜

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et soient $a$ et $b$ deux réels de $I$ .
Pour tout réel k compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$ .

Autrement dit, quand on a un nombre $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors il existe au moins un antécédent au nombre $k$ .
Il existe au moins un nombre $c$ de l’intervalle $I=\lbrack{a,b}\rbrack$ tel que $f(c)=k$

Graphique 📈

Ici, $k$ est bien compris entre $f(a)$ et $f(b)$ et il existe 3 antécédents dans notre cas de figure : $c1$ , $c2$ et $c3$ !

💡 Rappel

Comme son nom l’indique, une fonction continue est une fonction dont la courbe ne fait aucun saut. Tu ne lèves pas la main quand tu traces la courbe.

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Cas particulier ☝️

Prenons le cas particulier d’une fonction continue strictement monotone, c’est-à-dire soit strictement croissante, soit strictement décroissante. C’est le corollaire au théorème des valeurs intermédiaires, qu’on l’appelle également le théorème de bijection.

Avant de te le présenter, voici un rappel de ce que sont une fonction monotone et une fonction non monotone.

↪️ Exemple fonction monotone décroissante

↪️ Exemple fonction monotone croissante

↪️ Exemple d’une fonction non monotone

Corollaire (TVI appliqué aux fonctions strictement monotones)

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur $\lbrack{a,b}\rbrack$ .
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe un $\textbf{unique}$ réel $c\in\lbrack{a,b}\rbrack$ tel que $f(c)=k$

Dans ce cas particulier, il y a donc un seul antécédent !

Graphique 📉

Dans ce cas, notre fonction est strictement croissante. On a bien $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ et nous avons un unique antécédent c tel que $f(c)=k$ .

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Méthode d’application du TVI et de son corollaire 🤓

Tu peux avoir plusieurs types de questions en exercices.

Un homme prend des notes. — *Prends bien note !*

Question sur le TVI ❓

Énoncé

Démontrer que l’équation $f(x)=k$ admet au moins une solution sur l’intervalle $I$

Méthode

1. Tu vérifies que la fonction $f$ est continue sur l’intervalle $I$

2. Tu trouves a et b sur l’intervalle I tel que $f(a)k$
car comme la fonction est continue, elle va prendre toutes les valeurs intermédiaires entre $f(a)$ et $f(b)$ . Et donc elle va prendre la valeur k.

3. Tu conclus : d’après le théorème des valeurs intermédiaires, f(x)=k admet au moins une solution sur l’intervalle $I$

Question sur le corollaire du TVI ❓

Énoncé

Démontrer que l’équation $f(x)=k$ admet exactement une solution sur l’intervalle $I$

Méthode

1. Tu vérifies que la fonction $f$ est continue sur l’intervalle $I$

2. Tu fais un tableau de variations à l’aide de la dérivée.

3. Tu conclus : d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=k$ admet exactement une solution sur l’intervalle $I$

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Exercices ✍️

On espère que tu as bien retenu les étapes, car maintenant c’est à toi de les appliquer !

Exercice 1

Soit la fonction $f(x)=x^2-4$

Démontre que l’équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur l’intervalle $I=\lbrack{1;3}\rbrack$

Exercice 2

Soit $f(x)=x^2-6x+9$

Montre qu’il existe sur unique solution sur l’intervalle $I=\lbrack{4;6}\rbrack$ pour $f(x)=4$

Corrigés 💯

Corrigé 1

1. On vérifie que la fonction $f$ est continue sur l’intervalle $I$ .

La fonction $f(x)=x^2-4$ est un polynôme.

Les polynômes sont continus sur l’ensemble des réels.

La fonction est donc continue sur l’intervalle $I=\lbrack{1;3}\rbrack$

2. On trouve $a$ et $b$ sur l’intervalle $I$ tel que $f(a)k$
$f(1)=1^2-4=-3$
$f(3)=3^2-4=5$

$f(1)$ et $f(3)$ sont de signes opposés, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence d’au moins une solution $c$ dans l’intervalle $\lbrack{1;3}\rbrack$ tel que
$f(c)=0$ .

3. On conclut.

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, $f(x)=x^2-4$ admet au moins une solution sur l’intervalle $I=\lbrack{1;3}\rbrack$

Corrigé 2

1. On vérifie que la fonction $f$ est continue sur l’intervalle $I$ .

La fonction $f(x)=x^2-6x+9$ est un polynôme et les polynômes sont continus sur l’ensemble des réels. La fonction est donc continue sur l’intervalle.

2. On fait un tableau de variations

$f'(x)=2x-6$

$f'(x)=0$ quand $x=3$ et est négatif de $-{\infty}$ à $3$ , puis positif de $3$ à $+{\infty}$

Pour l’intervalle $I=(4,7)$

$f'(x)=2x-6$
$f'(4)=2\times4-6=2$
$f'(6)=2\times6-6=6$

On sait que sur l’intervalle $I=(4;6)$ la fonction est strictement croissante.

$f(4)=4^2-6\times4+9=1$

$f(6)=6^2-6\times6+9=9$

$f(4)=1<4<9=f(6)$

$f(x)=4$ est bien compris dans l’intervalle.

3. On conclut.
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, comme la fonction est strictement croissante sur l’intervalle $\lbrack{4;6}\rbrack$ , alors l’équation $f(x)=4$ admet exactement une solution sur cet intervalle.

Bob l'éponge qui se frotte les mains pour avoir terminer une tâche.

Voilà ! Notre fiche de mathématiques sur le théorème des valeurs intermédiaires touche à sa fin. On espère qu’elle t’aura aidé à mieux comprendre et à appliquer ce théorème très important. Si tu as encore des difficultés ou que tu veux exceller en maths, prends des cours particuliers avec un Sherpa !

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Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : cours et exercices 📉

Le théorème des valeurs intermédiaires, c’est quoi ? 👀

Définition 📖

Théorème 📜

Graphique 📈

Cas particulier ☝️

Corollaire (TVI appliqué aux fonctions strictement monotones)

Graphique 📉

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Question sur le TVI ❓

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Méthode

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Exercices ✍️

Exercice 1

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Corrigés 💯

Corrigé 1

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