Comment déterminer le degré d’un polynôme ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 28/06/2022
degré d'un polynome

Tu te demandes comment déterminer le degré d’un polynôme ? Trouve la réponse à ta question dans cet article, ainsi que toutes les définitions et les théorèmes indispensables pour tout savoir sur le degré d’un polynôme.

Définition : Degré d’un polynôme et coefficient dominant

Soit P = a_0 + ... + a_nX^n avec a_n \ne 0.
L’entier n est le degré de P, noté deg(P). Par convention, le degré du polynôme nul est -\infty.
Le coefficient a_n est appelé coefficient dominant de P. Lorsque a_n = 1, on dit que le polynôme P est unitaire.
L’ensemble des polynômes à coefficients dans \mathbb{K} de degré au plus n est noté \mathbb{K}_n[X].

Théorème :

Soit P et Q deux polynômes à coefficients dans \mathbb{K} :
  • deg(P+Q) \leq max\{deg(P), deg(Q)\} ;
  • deg(PQ) = deg(P) + deg(Q) ;
  • deg(P \circ Q) = deg(P) \times deg(Q), si P \ne 0 et Q \ne 0.
  • Démonstration :

    Notons dans un premier temps que si P=0 ou Q=0, les deux premières relations sont vérifiées. Supposons que P et Q sont non nuls. On pose P= \sum_{k=0}^n a_kX^k et Q= \sum_{k=0}^m b_kX^k.
  • Supposons que n \geq m, on pose pour tout i \in [\![m+1;n]\!], b_i=0.
    On a : Q = \sum_{k=0}^n b_kX^k.
    Par conséquent, P+Q = \sum_{k=0}^n (a_k+b_k)X^k.
    On en déduit que deg(P+Q) \leq n, soit deg(P+Q) \leq max\{deg(P), deg(Q)\}.

  • On note PQ = \sum_{k=0}^{n+m} c_kX^k avec c_k = \sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}. Intéressons nous au coefficient dominant du polynôme PQ :

        \[    $c_{n+m} = \sum_{i=0}^{n+m} a_ib_{n+m-i} = \sum_{i=0}^{n-1} a_i \underbrace{b_{n+m-i}}_{=0}+a_nb_m + \sum_{i=n+1}^{n+m} \underbrace{a_i}_{=0}b_{n+m-i}$  $c_{n+m} = a_nb_m \ne 0$. \]


    On en déduit que deg(PQ) = deg(P) + deg(Q).

  • On a deg(P \circ Q) = deg(Q^n) = n deg(Q) en utilisant la formule du degré d’un produit. On a bien : deg(P \circ Q) = deg(P) \times deg(Q).
  • Proposition :

    Soient P et Q deux polynômes de \mathbb{K}[X].

        \[    $PQ = 0 \Longrightarrow P=0$ ou $Q=0$. \]

    On dit que l’anneau (\mathbb{K}[X],+,\times) est intègre.

    Démonstration :

    On suppose que PQ=0, alors deg(PQ)=deg(P)+deg(Q) = -\infty. Cette égalité n’est possible uniquement si on a deg(P)= -\infty ou deg(Q)= -\infty, ce qui prouve le résultat.

    Proposition :

    Les éléments inversibles de \mathbb{K}[X] sont les polynômes de degré 0, appelés polynômes constants.

    Démonstration :

    (\Rightarrow) Soit P un polynôme inversible de \mathbb{K}[X], alors il existe Q \in \mathbb{K}[X] tel que PQ = 1. On en déduit que deg(P) + deg(Q) = 0 ce qui est possible uniquement si deg(P)=0 et deg(Q)=0. On en déduit bien le résultat.
    (\Leftarrow) Si P est un polynôme de degré 0, alors il existe a\in \mathbb{K}^* tel que P=a. En prenant Q= \frac {1}{a}, on a bien PQ=1, P est bien inversible.
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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