Comment déterminer le degré d'un polynôme ?

Tu te demandes comment déterminer le degré d’un polynôme ? Trouve la réponse à ta question dans cet article, ainsi que toutes les définitions et les théorèmes indispensables pour tout savoir sur le degré d’un polynôme.

Définition : Degré d’un polynôme et coefficient dominant

Soit $P = a_0 + ... + a_nX^n$ avec $a_n \ne 0$

.
L’entier $n$ est le degré de $P$ , noté $deg(P)$ . Par convention, le degré du polynôme nul est $-\infty$

.
Le coefficient $a_n$ est appelé coefficient dominant de $P$ . Lorsque $a_n = 1$ , on dit que le polynôme $P$

est unitaire.
L’ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ de degré au plus $n$ est noté $\mathbb{K}_n[X]$

Théorème :

Soit $P$ et $Q$ deux polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$

$deg(P+Q) \leq max\{deg(P), deg(Q)\}$

;

$deg(PQ) = deg(P) + deg(Q)$

;

$deg(P \circ Q) = deg(P) \times deg(Q)$ , si $P \ne 0$ et $Q \ne 0$

Démonstration :

Notons dans un premier temps que si $P=0$ ou $Q=0$ , les deux premières relations sont vérifiées. Supposons que $P$ et $Q$ sont non nuls. On pose $P= \sum_{k=0}^n a_kX^k$ et $Q= \sum_{k=0}^m b_kX^k$

Supposons que $n \geq m$ , on pose pour tout $i \in [\![m+1;n]\!]$ , $b_i=0$

.
On a : $Q = \sum_{k=0}^n b_kX^k$

.
Par conséquent, $P+Q = \sum_{k=0}^n (a_k+b_k)X^k$

.
On en déduit que $deg(P+Q) \leq n$ , soit $deg(P+Q) \leq max\{deg(P), deg(Q)\}$

On note $PQ = \sum_{k=0}^{n+m} c_kX^k$ avec $c_k = \sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}$ . Intéressons nous au coefficient dominant du polynôme $PQ$

$$c_{n+m} = \sum_{i=0}^{n+m} a_ib_{n+m-i} = \sum_{i=0}^{n-1} a_i \underbrace{b_{n+m-i}}_{=0}+a_nb_m + \sum_{i=n+1}^{n+m} \underbrace{a_i}_{=0}b_{n+m-i}$ $c_{n+m} = a_nb_m \ne 0$.$

On en déduit que $deg(PQ) = deg(P) + deg(Q)$

On a $deg(P \circ Q) = deg(Q^n) = n deg(Q)$ en utilisant la formule du degré d’un produit. On a bien : $deg(P \circ Q) = deg(P) \times deg(Q)$

Proposition :

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes de $\mathbb{K}[X]$

$$PQ = 0 \Longrightarrow P=0$ ou $Q=0$.$

On dit que l’anneau $(\mathbb{K}[X],+,\times)$

est intègre.

Démonstration :

On suppose que $PQ=0$ , alors $deg(PQ)=deg(P)+deg(Q) = -\infty$ . Cette égalité n’est possible uniquement si on a $deg(P)= -\infty$ ou $deg(Q)= -\infty$

, ce qui prouve le résultat.

Proposition :

Les éléments inversibles de $\mathbb{K}[X]$

sont les polynômes de degré 0, appelés polynômes constants.

Démonstration :

( $\Rightarrow$ ) Soit $P$ un polynôme inversible de $\mathbb{K}[X]$

, alors il existe $Q \in \mathbb{K}[X]$ tel que $PQ = 1$ . On en déduit que $deg(P) + deg(Q) = 0$ ce qui est possible uniquement si $deg(P)=0$ et $deg(Q)=0$ . On en déduit bien le résultat.
( $\Leftarrow$ ) Si $P$ est un polynôme de degré 0, alors il existe $a\in \mathbb{K}^*$ tel que $P=a$ . En prenant $Q= \frac {1}{a}$ , on a bien $PQ=1$ , $P$

est bien inversible.

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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