Comment déterminer le degré d’un polynôme ?

William Mievre - Mis à jour le 28/06/2022

degré d'un polynome

Tu te demandes comment déterminer le degré d’un polynôme ? Trouve la réponse à ta question dans cet article, ainsi que toutes les définitions et les théorèmes indispensables pour tout savoir sur le degré d’un polynôme.

Et si tu rencontres encore des difficultés, n’hésite pas à consulter un professeur particulier d’algèbre pour des explications claires et précises. 🧶

Définition : Degré d’un polynôme et coefficient dominant

Soit $P = a_0 + ... + a_nX^n$

avec $a_n \ne 0$

.
L’entier $n$

est le degré de $P$

, noté $deg(P)$

. Par convention, le degré du polynôme nul est $-\infty$

.
Le coefficient $a_n$

est appelé coefficient dominant de $P$

. Lorsque $a_n = 1$

, on dit que le polynôme $P$

est unitaire.
L’ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$

de degré au plus $n$

est noté $\mathbb{K}_n[X]$

.

Théorème :

Soit $P$

et $Q$

deux polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$

:

$deg(P+Q) \leq max\{deg(P), deg(Q)\}$

;

$deg(PQ) = deg(P) + deg(Q)$

;

$deg(P \circ Q) = deg(P) \times deg(Q)$

, si $P \ne 0$

et $Q \ne 0$

.

Démonstration :

Notons dans un premier temps que si $P=0$

ou $Q=0$

, les deux premières relations sont vérifiées. Supposons que $P$

et $Q$

sont non nuls. On pose $P= \sum_{k=0}^n a_kX^k$

et $Q= \sum_{k=0}^m b_kX^k$

.

Supposons que $n \geq m$

, on pose pour tout $i \in [\![m+1;n]\!]$

, $b_i=0$

.
On a : $Q = \sum_{k=0}^n b_kX^k$

.
Par conséquent, $P+Q = \sum_{k=0}^n (a_k+b_k)X^k$

.
On en déduit que $deg(P+Q) \leq n$

, soit $deg(P+Q) \leq max\{deg(P), deg(Q)\}$

.

On note $PQ = \sum_{k=0}^{n+m} c_kX^k$

avec $c_k = \sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}$

. Intéressons nous au coefficient dominant du polynôme $PQ$

:

$$c_{n+m} = \sum_{i=0}^{n+m} a_ib_{n+m-i} = \sum_{i=0}^{n-1} a_i \underbrace{b_{n+m-i}}_{=0}+a_nb_m + \sum_{i=n+1}^{n+m} \underbrace{a_i}_{=0}b_{n+m-i}$ $c_{n+m} = a_nb_m \ne 0$.$

On en déduit que $deg(PQ) = deg(P) + deg(Q)$

.

On a $deg(P \circ Q) = deg(Q^n) = n deg(Q)$

en utilisant la formule du degré d’un produit. On a bien : $deg(P \circ Q) = deg(P) \times deg(Q)$

.

Proposition :

Soient $P$

et $Q$

deux polynômes de $\mathbb{K}[X]$

.

$$PQ = 0 \Longrightarrow P=0$ ou $Q=0$.$

On dit que l’anneau $(\mathbb{K}[X],+,\times)$

est intègre.

Démonstration :

On suppose que $PQ=0$

, alors $deg(PQ)=deg(P)+deg(Q) = -\infty$

. Cette égalité n’est possible uniquement si on a $deg(P)= -\infty$

ou $deg(Q)= -\infty$

, ce qui prouve le résultat.

Proposition :

Les éléments inversibles de $\mathbb{K}[X]$

sont les polynômes de degré 0, appelés polynômes constants.

Démonstration :

( $\Rightarrow$

) Soit $P$

un polynôme inversible de $\mathbb{K}[X]$

, alors il existe $Q \in \mathbb{K}[X]$

tel que $PQ = 1$

. On en déduit que $deg(P) + deg(Q) = 0$

ce qui est possible uniquement si $deg(P)=0$

et $deg(Q)=0$

. On en déduit bien le résultat.
( $\Leftarrow$

) Si $P$

est un polynôme de degré 0, alors il existe $a\in \mathbb{K}^*$

tel que $P=a$

. En prenant $Q= \frac {1}{a}$

, on a bien $PQ=1$

, $P$

est bien inversible.

livre maths mpsi vuibert

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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William Mievre

Co-fondateur des Sherpas

Passé par une Prépa HEC puis l'ESCP, j'ai donné des centaines d'heures de cours particuliers avant de créer Les Sherpas avec Étienne. Passionné d'éducation, je te partage désormais mes meilleurs conseils afin de t'aider à réussir et t'épanouir dans tes études. Cheers ✌️💖 !

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