Comment déterminer le degré d’un polynôme ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 28/06/2022

degré d'un polynome

Tu te demandes comment déterminer le degré d’un polynôme ? Trouve la réponse à ta question dans cet article, ainsi que toutes les définitions et les théorèmes indispensables pour tout savoir sur le degré d’un polynôme.

Définition : Degré d’un polynôme et coefficient dominant

Soit $P = a_0 + ... + a_nX^n$

avec $a_n \ne 0$

.
L’entier $n$

est le degré de $P$

, noté $deg(P)$

. Par convention, le degré du polynôme nul est $-\infty$

.
Le coefficient $a_n$

est appelé coefficient dominant de $P$

. Lorsque $a_n = 1$

, on dit que le polynôme $P$

est unitaire.
L’ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$

de degré au plus $n$

est noté $\mathbb{K}_n[X]$

.

Théorème :

Soit $P$

et $Q$

deux polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$

:

$deg(P+Q) \leq max\{deg(P), deg(Q)\}$

;

$deg(PQ) = deg(P) + deg(Q)$

;

$deg(P \circ Q) = deg(P) \times deg(Q)$

, si $P \ne 0$

et $Q \ne 0$

.

Démonstration :

Notons dans un premier temps que si $P=0$

ou $Q=0$

, les deux premières relations sont vérifiées. Supposons que $P$

et $Q$

sont non nuls. On pose $P= \sum_{k=0}^n a_kX^k$

et $Q= \sum_{k=0}^m b_kX^k$

.

Supposons que $n \geq m$

, on pose pour tout $i \in [\![m+1;n]\!]$

, $b_i=0$

.
On a : $Q = \sum_{k=0}^n b_kX^k$

.
Par conséquent, $P+Q = \sum_{k=0}^n (a_k+b_k)X^k$

.
On en déduit que $deg(P+Q) \leq n$

, soit $deg(P+Q) \leq max\{deg(P), deg(Q)\}$

.

On note $PQ = \sum_{k=0}^{n+m} c_kX^k$

avec $c_k = \sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}$

. Intéressons nous au coefficient dominant du polynôme $PQ$

:

$$c_{n+m} = \sum_{i=0}^{n+m} a_ib_{n+m-i} = \sum_{i=0}^{n-1} a_i \underbrace{b_{n+m-i}}_{=0}+a_nb_m + \sum_{i=n+1}^{n+m} \underbrace{a_i}_{=0}b_{n+m-i}$ $c_{n+m} = a_nb_m \ne 0$.$

On en déduit que $deg(PQ) = deg(P) + deg(Q)$

.

On a $deg(P \circ Q) = deg(Q^n) = n deg(Q)$

en utilisant la formule du degré d’un produit. On a bien : $deg(P \circ Q) = deg(P) \times deg(Q)$

.

Proposition :

Soient $P$

et $Q$

deux polynômes de $\mathbb{K}[X]$

.

$$PQ = 0 \Longrightarrow P=0$ ou $Q=0$.$

On dit que l’anneau $(\mathbb{K}[X],+,\times)$

est intègre.

Démonstration :

On suppose que $PQ=0$

, alors $deg(PQ)=deg(P)+deg(Q) = -\infty$

. Cette égalité n’est possible uniquement si on a $deg(P)= -\infty$

ou $deg(Q)= -\infty$

, ce qui prouve le résultat.

Proposition :

Les éléments inversibles de $\mathbb{K}[X]$

sont les polynômes de degré 0, appelés polynômes constants.

Démonstration :

( $\Rightarrow$

) Soit $P$

un polynôme inversible de $\mathbb{K}[X]$

, alors il existe $Q \in \mathbb{K}[X]$

tel que $PQ = 1$

. On en déduit que $deg(P) + deg(Q) = 0$

ce qui est possible uniquement si $deg(P)=0$

et $deg(Q)=0$

. On en déduit bien le résultat.
( $\Leftarrow$

) Si $P$

est un polynôme de degré 0, alors il existe $a\in \mathbb{K}^*$

tel que $P=a$

. En prenant $Q= \frac {1}{a}$

, on a bien $PQ=1$

, $P$

est bien inversible.

livre maths mpsi vuibert

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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