La dérivée d’une fonction

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 04/07/2022
dérivée d'une fonction

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Fonction dérivée

Définition : Dérivée d’une fonction

Soit f:I\to \R une fonction.
  • On dit que f est dérivable sur I lorsque f est dérivable en tout point a de I.
  • Dans ce cas, la fonction dérivée de f est l’application notée f' et définie par :
  •     \[\begin{array}[t]{lll} I & \to & \mathbb{R}\\ a & \mapsto & f'(a). \end{array}\]

  • On note \mathcal{D}(I,\mathbb{R}) l’ensemble des fonctions dérivables sur I et à valeurs dans \mathbb{R}.
  • Exemples

  • Soit c\in\mathbb{R} et f la fonction constante égale à c. La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et sa fonction dérivée est la fonction nulle.
  • Soit n\in\mathbb{N}^* et f:x\mapsto x^n. La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout x\in\mathbb{R}, f'(x)=nx^{n-1}.
  • Soit f:x\mapsto \dfrac{1}{x}. La fonction f est dérivable en tout point de \mathbb{R}^* et, pour tout x\in\mathbb{R}^*, f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}.
  • Soit f:x\mapsto \sqrt{x}. La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}_+^* et, pour tout x\in\mathbb{R}_+^*, f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Les fonction exp,ln ,ch , sh, cos, sin, tan sont dérivables sur leurs ensembles de définition.
  • Calculs de dérivées

    Théorème

    Soient f:I\to \mathbb{R} et g:I\to\mathbb{R} deux fonctions et a\in I. On suppose que f et g sont dérivables en a. Alors,
  • pour tout (\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2, la fonction \lambda.f+\mu.g est dérivable en a et :
  •     \[(\lambda.f+\mu.g)'(a)=\lambda f'(a)+\mu g'(a).\]

  • la fonction fg est dérivable en a et :
  •     \[(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a).\]

    Démonstration

    Soit (\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2. Pour tout x\in I\setminus\{a\}, on a :

        \[\frac{(\lambda.f+\mu.g)(x)-(\lambda.f+\mu.g)(a)}{x-a} = \lambda\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\mu\frac{g(x)-g(a)}{x-a} \xrightarrow[x\to a]{}\lambda f'(a)+\mu g'(a).\]

    Donc, \lambda.f+\mu.g est dérivable en a et (\lambda.f+\mu.g)'(a)=\lambda f'(a)+\mu g'(a). De plus, pour tout x\in I\setminus\{a\}, on a :

        \[\frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a}=f(x)\frac{g(x)-g(a)}{x-a}+g(a)\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]

    Or, f est dérivable en a, donc f est continue en a. D’où, par opérations sur les limites,

        \[\frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a}\xrightarrow[x\to a]{} f(a)g'(a)+g(a)f'(a).\]

    Donc, fg est dérivable en a et (fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a).

    Remarque

    Plus généralement, si f_1:I\to\mathbb{R}, f_2:I\to\mathbb{R}, … , f_N:I\to\mathbb{R} sont dérivables en a\in I, alors, pour tout (\lambda_1,\dots,\lambda_N)\in\mathbb{R}^N, la fonction \lambda.f_1+\lambda_2.f_2+\dots+\lambda_N.f_N est dérivable en a et :

        \[(\lambda.f_1+\lambda_2.f_2+\dots+\lambda_N.f_N)'(a)=\lambda.f_1'(a)+\lambda_2.f_2'(a)+\dots+\lambda_N.f_N'(a).\]

    Autrement dit, toute combinaison linéaire de fonctions dérivables en a est dérivable en a.

    Corollaire

    Soient f:I\to \mathbb{R} et g:I\to\mathbb{R} deux fonctions. On suppose que f et g sont dérivables sur I. Alors,
  • pour tout (\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2, la fonction \lambda.f+\mu.g est dérivable sur I et :
  •     \[(\lambda.f+\mu.g)'=\lambda.f'+\mu.g'.\]

  • la fonction fg est dérivable sur I et :
  •     \[(fg)'=f'g+fg'.\]

    Remarque

    Toute combinaison linéaire de fonctions dérivables sur I sont dérivables sur I.

    Corollaire

    Une fonction polynomiale est dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée est encore une fonction polynomiale.

    Démonstration

    Pour tout n\in\mathbb{N}, les fonctions x\mapsto x^n sont dérivables sur \mathbb{R}.

    Théorème

    Soient f:I\to \mathbb{R} et g:J\to\mathbb{R} deux fonctions, où J est un intervalle de \mathbb{R} vérifiant f(I)\subset J. Si f est dérivable en a et g est dérivable en f(a), alors g\circ f est dérivable en a et :

        \[(g\circ f)'(a)=g'\big(f(a)\big) f'(a).\]

    Démonstration

    On sait que g est dérivable en f(a), donc il existe \varepsilon_g:\{y-f(a),\;y\in J\}\to\mathbb{R} tel que, pour tout x\in I,

        \[g(f(x))=g(f(a)) + g'(f(a)) \big(f(x)-f(a)\big)+\big(f(x)-f(a)\big)\varepsilon_g\big(f(x)-f(a)\big).\]

    Donc, pour tout x\in I\setminus\{a\},

        \[\frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a} = g'(f(a))  \frac{f(x)-f(a)}{x-a} +  \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\varepsilon_g\big(f(x)-f(a)\big).\]

    Or, f est dérivable en a, donc \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\xrightarrow[x\to a]{}f'(a). De plus, f est continue en a, donc,
    f(x)-f(a)\xrightarrow[x\to a]{}0
    Par composition des limites, \varepsilon_g\big(f(x)-f(a)\big)\xrightarrow[x\to a]{}0.
    Donc, par opérations sur les limites, \dfrac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a} \xrightarrow[x\to a]{} g'(f(a))  f'(a).

    Corollaire

    Soient f:I\to \mathbb{R} et g:J\to\mathbb{R} deux fonctions, où J est un intervalle de \mathbb{R} vérifiant f(I)\subset J. Si f est dérivable sur I et g est dérivable sur J, alors g\circ f est dérivable en I et :

        \[(g\circ f)'=(g'\circ f) \times f'.\]

    Exemples

    Soit f une fonction dérivable sur I
  • La fonction \e^f:x\mapsto \exp(f(x)) est dérivable sur I et :
  • (\e^f)'=f' \e^f.
  • Si f ne s’annule pas sur I, alors la fonction \ln(|f|):x\mapsto \ln(|f(x)|) est dérivable sur I et :
  • \big(\ln(|f|)\big)'=\dfrac{f'}{f}.
  • La fonction \cos(f):x\mapsto \cos(f(x)) est dérivable sur I et :
  • \cos(f)'=-f'\sin(f).
  • La fonction \sin(f):x\mapsto \sin(f(x)) est dérivable sur I et :
  • \sin(f)'=f'\cos(f).
  • La fonction \cos(f):x\mapsto ch(f(x)) est dérivable sur I et :
  • ch(f)'=f'sh(f).
  • La fonction \cos(f):x\mapsto sh(f(x)) est dérivable sur I et :
  • sh(f)'=f'ch(f).
  • Si la fonction f est à valeurs strictement positives et \alpha\in\mathbb{R}, alors la fonction f^\alpha : x\mapsto \big(f(x)\big)^\alpha est dérivable sur I et : (f^\alpha)'=\alpha f'f^{\alpha-1}.
  • Corollaire

    Soient f:I\to \mathbb{R} une fonction et a\in I.
    On suppose que f est dérivable en a. On a :
  • pour tout n\in\mathbb{N}^*,

        \[f^n=\underbrace{f\times f \ldots\times f}_{n\ \mathrm{fois}}\]

    est dérivable en a et :

        \[(f^n)'(a)=n f'(a) f^{n-1}(a).\]

  • pour tout n\in\mathbb{Z}_-^*, si f(a)\neq 0, alors f^n=\dfrac{1}{f^{-n}} est dérivable en a et :

        \[(f^n)'(a)=n f'(a) f^{n-1}(a).\]

  • Corollaire

    Soit f:I\to \mathbb{R} une fonction.
    On suppose que f est dérivable sur I. On a :
  • pour tout n\in\mathbb{N}^*,

        \[f^n=\underbrace{f\times f \ldots\times f}_{n\ \mathrm{fois}}\]

    est dérivable sur I et :

        \[(f^n)'=n f' f^{n-1}.\]

  • pour tout n\in\mathbb{Z}_-^*, si f ne s’annule pas sur I, alors f^n=\dfrac{1}{f^{-n}} est dérivable sur I et :

        \[(f^n)'=n f' f^{n-1}.\]

  • Théorème

    Soient f:I\to \mathbb{R} et g:I\to\mathbb{R} deux fonctions et a\in I. On suppose que f et g sont dérivables en a. Si g(a)\neq 0, alors \dfrac{f}{g} est dérivable en a et

        \[\left(\frac{f}{g}\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{\big(g(a)\big)^2}\]

    Corollaire

    Soient f:I\to \mathbb{R} et g:I\to\mathbb{R} deux fonctions et a\in I. On suppose que f et g sont dérivables sur I. Si g ne s’annule pas sur I, alors \dfrac{f}{g} est dérivable sur I et :

        \[\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.\]

    Exemples

  • Soit k\in\mathbb{Z}. La fonction \tan = \dfrac{\sin}{\cos} est dérivable sur \displaystyle\left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[ et sa dérivée est \tan'=\dfrac{1}{\cos^2}=1+\tan^2.
  • La fonction th =\dfrac{sh}{ch} est dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée est th'=\dfrac{1}{ch^2}=1-th^2.
  • Corollaire

    Une fonction rationnelle sur tout intervalle où son dénominateur ne s’annule pas et sa dérivée est encore une fonction rationnelle.

    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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