Dérivée d'une fonction

Sommaire

Fonction dérivée
Calculs de dérivées

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Fonction dérivée

Définition : Dérivée d’une fonction

Soit $f:I\to \R$

une fonction.

On dit que $f$

est dérivable sur $I$

lorsque $f$

est dérivable en tout point $a$

de $I$

Dans ce cas, la fonction dérivée de $f$

est l’application notée $f'$

et définie par :

$\begin{array}[t]{lll} I & \to & \mathbb{R}\\ a & \mapsto & f'(a). \end{array}$

On note $\mathcal{D}(I,\mathbb{R})$

l’ensemble des fonctions dérivables sur $I$

et à valeurs dans $\mathbb{R}$

Exemples

Soit $c\in\mathbb{R}$

et $f$

la fonction constante égale à $c$

. La fonction $f$

est dérivable sur $\mathbb{R}$

et sa fonction dérivée est la fonction nulle.

Soit $n\in\mathbb{N}^*$

et $f:x\mapsto x^n$

. La fonction $f$

est dérivable sur $\mathbb{R}$

et, pour tout $x\in\mathbb{R}$

, $f'(x)=nx^{n-1}$

Soit $f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$

. La fonction $f$

est dérivable en tout point de $\mathbb{R}^*$

et, pour tout $x\in\mathbb{R}^*$

, $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$

Soit $f:x\mapsto \sqrt{x}$

. La fonction $f$

est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$

et, pour tout $x\in\mathbb{R}_+^*$

, $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Les fonction exp,ln ,ch , sh, cos, sin, tan sont dérivables sur leurs ensembles de définition.

Calculs de dérivées

Théorème

Soient $f:I\to \mathbb{R}$

et $g:I\to\mathbb{R}$

deux fonctions et $a\in I$

. On suppose que $f$

et $g$

sont dérivables en $a$

. Alors,

pour tout $(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2$

, la fonction $\lambda.f+\mu.g$

est dérivable en $a$

et :

$(\lambda.f+\mu.g)'(a)=\lambda f'(a)+\mu g'(a).$

la fonction $fg$

est dérivable en $a$

et :

$(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a).$

Démonstration

Soit $(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2$

. Pour tout $x\in I\setminus\{a\}$

, on a :

$\frac{(\lambda.f+\mu.g)(x)-(\lambda.f+\mu.g)(a)}{x-a} = \lambda\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\mu\frac{g(x)-g(a)}{x-a} \xrightarrow[x\to a]{}\lambda f'(a)+\mu g'(a).$

Donc, $\lambda.f+\mu.g$

est dérivable en $a$

et $(\lambda.f+\mu.g)'(a)=\lambda f'(a)+\mu g'(a)$

. De plus, pour tout $x\in I\setminus\{a\}$

, on a :

$\frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a}=f(x)\frac{g(x)-g(a)}{x-a}+g(a)\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$

Or, $f$

est dérivable en $a$

, donc $f$

est continue en $a$

. D’où, par opérations sur les limites,

$\frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a}\xrightarrow[x\to a]{} f(a)g'(a)+g(a)f'(a).$

Donc, $fg$

est dérivable en $a$

et $(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a).$

Remarque

Plus généralement, si $f_1:I\to\mathbb{R}$

, $f_2:I\to\mathbb{R}$

, … , $f_N:I\to\mathbb{R}$

sont dérivables en $a\in I$

, alors, pour tout $(\lambda_1,\dots,\lambda_N)\in\mathbb{R}^N$

, la fonction $\lambda.f_1+\lambda_2.f_2+\dots+\lambda_N.f_N$

est dérivable en $a$

et :

$(\lambda.f_1+\lambda_2.f_2+\dots+\lambda_N.f_N)'(a)=\lambda.f_1'(a)+\lambda_2.f_2'(a)+\dots+\lambda_N.f_N'(a).$

Autrement dit, toute combinaison linéaire de fonctions dérivables en $a$

est dérivable en $a$

Corollaire

Soient $f:I\to \mathbb{R}$

et $g:I\to\mathbb{R}$

deux fonctions. On suppose que $f$

et $g$

sont dérivables sur $I$

. Alors,

pour tout $(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2$

, la fonction $\lambda.f+\mu.g$

est dérivable sur $I$

et :

$(\lambda.f+\mu.g)'=\lambda.f'+\mu.g'.$

la fonction $fg$

est dérivable sur $I$

et :

$(fg)'=f'g+fg'.$

Remarque

Toute combinaison linéaire de fonctions dérivables sur $I$

sont dérivables sur $I$

Corollaire

Une fonction polynomiale est dérivable sur $\mathbb{R}$

et sa dérivée est encore une fonction polynomiale.

Démonstration

Pour tout $n\in\mathbb{N}$

, les fonctions $x\mapsto x^n$

sont dérivables sur $\mathbb{R}$

Théorème

Soient $f:I\to \mathbb{R}$

et $g:J\to\mathbb{R}$

deux fonctions, où $J$

est un intervalle de $\mathbb{R}$

vérifiant $f(I)\subset J$

. Si $f$

est dérivable en $a$

et $g$

est dérivable en $f(a)$

, alors $g\circ f$

est dérivable en $a$

et :

$(g\circ f)'(a)=g'\big(f(a)\big) f'(a).$

Démonstration

On sait que $g$

est dérivable en $f(a)$

, donc il existe $\varepsilon_g:\{y-f(a),\;y\in J\}\to\mathbb{R}$

tel que, pour tout $x\in I$

$g(f(x))=g(f(a)) + g'(f(a)) \big(f(x)-f(a)\big)+\big(f(x)-f(a)\big)\varepsilon_g\big(f(x)-f(a)\big).$

Donc, pour tout $x\in I\setminus\{a\}$

$\frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a} = g'(f(a)) \frac{f(x)-f(a)}{x-a} + \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\varepsilon_g\big(f(x)-f(a)\big).$

Or, $f$

est dérivable en $a$

, donc $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\xrightarrow[x\to a]{}f'(a)$

. De plus, $f$

est continue en $a$

, donc,
$f(x)-f(a)\xrightarrow[x\to a]{}0$

Par composition des limites, $\varepsilon_g\big(f(x)-f(a)\big)\xrightarrow[x\to a]{}0$

.
Donc, par opérations sur les limites, $\dfrac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a} \xrightarrow[x\to a]{} g'(f(a)) f'(a)$

Corollaire

Soient $f:I\to \mathbb{R}$

et $g:J\to\mathbb{R}$

deux fonctions, où $J$

est un intervalle de $\mathbb{R}$

vérifiant $f(I)\subset J$

. Si $f$

est dérivable sur $I$

et $g$

est dérivable sur $J$

, alors $g\circ f$

est dérivable en $I$

et :

$(g\circ f)'=(g'\circ f) \times f'.$

Exemples

Soit $f$

une fonction dérivable sur $I$

La fonction $\e^f:x\mapsto \exp(f(x))$

est dérivable sur $I$

et :

$(\e^f)'=f' \e^f.$

Si $f$

ne s’annule pas sur $I$

, alors la fonction $\ln(|f|):x\mapsto \ln(|f(x)|)$

est dérivable sur $I$

et :

$\big(\ln(|f|)\big)'=\dfrac{f'}{f}.$

La fonction $\cos(f):x\mapsto \cos(f(x))$

est dérivable sur $I$

et :

$\cos(f)'=-f'\sin(f).$

La fonction $\sin(f):x\mapsto \sin(f(x))$

est dérivable sur $I$

et :

$\sin(f)'=f'\cos(f).$

La fonction $\cos(f):x\mapsto ch(f(x))$

est dérivable sur $I$

et :

$ch(f)'=f'sh(f).$

La fonction $\cos(f):x\mapsto sh(f(x))$

est dérivable sur $I$

et :

$sh(f)'=f'ch(f).$

Si la fonction $f$

est à valeurs strictement positives et $\alpha\in\mathbb{R}$

, alors la fonction $f^\alpha : x\mapsto \big(f(x)\big)^\alpha$

est dérivable sur $I$

et : $(f^\alpha)'=\alpha f'f^{\alpha-1}.$

Corollaire

Soient $f:I\to \mathbb{R}$

une fonction et $a\in I$

.
On suppose que $f$

est dérivable en $a$

. On a :

pour tout $n\in\mathbb{N}^*$

$f^n=\underbrace{f\times f \ldots\times f}_{n\ \mathrm{fois}}$

est dérivable en $a$

et :

$(f^n)'(a)=n f'(a) f^{n-1}(a).$

pour tout $n\in\mathbb{Z}_-^*$

, si $f(a)\neq 0$

, alors $f^n=\dfrac{1}{f^{-n}}$

est dérivable en $a$

et :

$(f^n)'(a)=n f'(a) f^{n-1}(a).$

Corollaire

Soit $f:I\to \mathbb{R}$

une fonction.
On suppose que $f$

est dérivable sur $I$

. On a :

pour tout $n\in\mathbb{N}^*$

$f^n=\underbrace{f\times f \ldots\times f}_{n\ \mathrm{fois}}$

est dérivable sur $I$

et :

$(f^n)'=n f' f^{n-1}.$

pour tout $n\in\mathbb{Z}_-^*$

, si $f$

ne s’annule pas sur $I$

, alors $f^n=\dfrac{1}{f^{-n}}$

est dérivable sur $I$

et :

$(f^n)'=n f' f^{n-1}.$

Théorème

Soient $f:I\to \mathbb{R}$

et $g:I\to\mathbb{R}$

deux fonctions et $a\in I$

. On suppose que $f$

et $g$

sont dérivables en $a$

. Si $g(a)\neq 0$

, alors $\dfrac{f}{g}$

est dérivable en $a$

$\left(\frac{f}{g}\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{\big(g(a)\big)^2}$

Corollaire

Soient $f:I\to \mathbb{R}$

et $g:I\to\mathbb{R}$

deux fonctions et $a\in I$

. On suppose que $f$

et $g$

sont dérivables sur $I$

. Si $g$

ne s’annule pas sur $I$

, alors $\dfrac{f}{g}$

est dérivable sur $I$

et :

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$

Exemples

Soit $k\in\mathbb{Z}$

. La fonction $\tan = \dfrac{\sin}{\cos}$

est dérivable sur $\displaystyle\left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[$

et sa dérivée est $\tan'=\dfrac{1}{\cos^2}=1+\tan^2$

La fonction $th =\dfrac{sh}{ch}$

est dérivable sur $\mathbb{R}$

et sa dérivée est $th'=\dfrac{1}{ch^2}=1-th^2$

Corollaire

Une fonction rationnelle sur tout intervalle où son dénominateur ne s’annule pas et sa dérivée est encore une fonction rationnelle.

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Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720