🔢 Théorème de Bézout {fiche de maths}

Aujourd’hui on te parle d’un théorème fondamental en arithmétique : le théorème de Bézout ! De sa définition à des exercices en passant par sa démonstration, on te dit tout ! Tu es prêt ? À ta calculette et c’est parti ! 🙌

Bart Simpson et des camardes marchent avec des casques militaires. Bart dit qu'il a eu un B en arithmétique. — *Avec les Sherpas, c’est un « A » que tu auras !*

Le théorème de Bézout, c’est quoi ? 👀

Définition 📖

On compte en réalité deux théorèmes !

👉 Théorème de l’identité de Bachet-Bézout : soit a et b, deux entiers relatifs, et d leur PGCD (plus grand commun diviseur). Il existe deux entiers relatifs u et v tels que ab+bv=d.

💡 Rappel PGCD

Le plus grand commun diviseur entre deux nombres entiers (ou plus) est le nombre entier naturel qui divise simultanément tous ces nombres.

↪️ Exemple : PGCD de 36 et 60

Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12
Les diviseurs de 60 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12
Le plus grand commun diviseur est donc 12

Le PGCD de deux entiers a et b peut donc s’exprimer de la façon suivante : d=au+bv , avec u et v des entiers.

Dans le cas où d=1, on obtient le théorème de Bézout !

👉 Théorème de Bézout : deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe des entiers relatifs u et v tels que au+bv=1.

💡 Rappel nombres premiers

Un nombre premier est nombre entier naturel positif qui ne peut être divisible que par lui-même ou par 1.

↪️ Exemple : 13 est un nombre premier car il est divisible par uniquement 1 et 13.

Deux nombres sont premiers entre eux quand ils n’ont pas de facteur commun autre que 1.

↪️ Exemple : 7 et 17 sont premiers entre eux car 7=1×7 et 17=17×1. Leur seul facteur commun est 1.

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Démonstration 🤓

💡 Rappel du théorème de Bachet-Bézout :

Soient $a$ et $b$ , deux entiers relatifs non nul. Il existe un couple d’entiers relatifs $(u,v)$ tel que $au+bv=PGCD(a,b)$

Soit l’ensemble $G$ qui regroupe tous les entiers positifs qui s’écrivent sous la forme : $au+bv$ , où $u$ et $v$ sont deux entiers relatifs.

On cherche à démontrer que $d=PGCD(a,b)$ appartenant à $G$ .

On suppose que $a\neq0$ et que $a$ est strictement positif ou négatif, alors $G$ contient $a\times1+b\times0$ et $a\times(-1)+b\times0$
donc $G$ est une partie non vide de $\mathbb{N}^*$ et admet un plus petit élément, $d$ .

Maintenant on cherche à démontrer que $PGCD(a,b)=d$ avec $d$ appartenant à $G$ .

Soit $(u,v)$ un couple d’entiers relatifs tel que $d=au+bv$ dont l’existence est assurée car $d$ appartient à $G$ .

Si $d$ divise $a$ et $b$ alors $d\leq{PGCD(a,b)}$
Si $PGCD(a,b)$ divise $d$ , alors $PGCD(a,b)\leq{d}$
Alors $d=PGCD(a,b)$

📌 Première étape : on veut démontrer que d divise a et b.

On démontre cela en procédant par une division euclidienne.

Soient $q$ et $r$ , le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $d$ , on a :

$a=dq+r$
$a=(au+bv)q+r$ , où $0\leq{r}<d$ (comme c’est le reste de la division euclidienne)

On raisonne par l’absurde.

Comme ici on veut montrer que $d$ est le $PGCD$ , alors le reste doit être égal à 0 $(r=0)$ . On suppose donc que $r\neq0$

On a donc :
$r=a(1-uq)+b(-vq)$ appartient à $G$ et est strictement inférieur à $d$ , ce qui contredit la définition de $d$ .

Donc $r=0$

Donc $d$ divise $a$ car le reste dans la division euclidienne est $0$

De même, $d$ divise $b$ (on procède de la même manière)

Comme $d$ divise à la fois $a$ et $b$ , alors $d\leq{PGCD(a,b)}$

📌 Deuxième étape : On veut démontrer que PGCD(a,b) divise d

On sait que le $PGCD(a,b)$ divise $a$ et $b$ . Donc il divise également les multiples de $a$ et $b$ : $au$ et $bv$ . Et il divise également la somme des multiples de $a$ et $b$ : $au+bv$ .

On rappelle que $d=au+bv$ $\Rightarrow$ $PGCD(a,b)$ divise $d$

d’où $PGCD(a,b)\leq{d}$

Si $d$ divise $a$ et $b$ alors $d\leq{PGCD(a,b)}$
Si $PGCD(a,b)$ divise $d$ , alors $PGCD(a,b)\leq{d}$
Alors $d=PGCD(a,b)$

On en conclut qu’il existe un couple d’entiers relatifs $(u,v)$ tel que $PGCD(a,b)=au+bv$

Une princesse Disney s'effondre sur un lit. — *Ça y est, on est arrivé à bout de la démonstration !*

Tu as eu du mal à suivre la démonstration ? Si tu as des lacunes en maths, prends des cours particuliers de maths en ligne avec un Sherpa !

À quoi ça sert ? 🤔

C’est bien beau, mais à quoi ça sert concrètement ? Eh bien, il est très utile pour résoudre une équation diophantienne.

🤔 Une équation diophantienne, c’est quoi ?

Une équation diophantienne est une équation polynomiale à une ou plusieurs inconnues avec des coefficients entiers dont les solutions sont cherchées parmi les nombres entiers, éventuellement rationnels.

↪️ Exemple : 21x+16y=1

Méthode : algorithme d’Euclide ➗

L’algorithme d’Euclide est une méthode permettant de trouver le PGCD de deux nombres.

Si $a$ et $b$ sont deux entiers naturels avec par exemple $a\geqb$ , si $r$ est le reste de $a$ et $b$ , alors le PGCD de $a$ et $b$ vaut le PGCD de $b$ et $r$ .

En pratique, on fait des divisions euclidienne jusqu’à ce que le reste est nul ( $r=0$ )

↪️ Exemple : calcul du PGCD de 561 et 357

561=357×1+204

357=204×1+153

204=153×1+51

153=51×3+0

PGCD(561;357)=51

Si on revient à notre théorème de Bézout, on utilise la méthode de l’algorithme d’Euclide quand on te demande de prouver que deux nombres sont premiers entre eux. Donc il faudrait trouver un PGCD égal à 1.

↪️ Exemple : prouve que 479 et 127 sont premiers entre eux

479=3×127+98

127=1×98+29

98=3×29+11

29=2×11+7

11=1×7+4

7=1×4+3

4=1×3+1

3=1×3+0

Le PGCD de 479 et 127 est bien 1. Ils sont donc premiers entre eux.

On en déduit selon le théorème de Bézout qu’il existe deux entiers u et v tels que 479u+127v=1

Comment déterminer u et v ? On remonte l’algorithme d’Euclide pour trouver des coefficients pour u et v.

1=4-1×3

1=4-1(7-1×4)

1=-1×7+2×4

1=-1×7+2(11-1×7)

1=2×11-3×7

1=2×11-3(29-2×11)

1=-3×29+8×11

1=-3×29+8(98-3×29)

1=8×98-27×29

1=8×98-27(127-1×98)

1=-27×127+35×98

1=-27×127+35(479-3×127)

1=35×479-132×127

u=35 et v=127

Un personnage des Simpson a écrit "3-2=1" et dit que les nombres sont fun.

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Exercice ✍️

Maintenant, c’est à toi de jouer !

1. L’équation $21x+3y=1$ admet-elle une solution ?

2. L’équation $13x+7y=1$ admet-elle une solution ?

Corrigé 💯

On vérifie si 21 et 3 sont premiers entre eux.

$21=3\times7$ et $3=3\times1$

Le $PGCD$ de $21$ et $3$ est donc $3$ et non $1$ . Ils ne sont pas premiers entre eux. On ne peut pas appliquer le théorème de Bézout et l’équation $21x+3y=1$ n’admet pas de solution.

On vérifie si 13 et 7 sont premiers entre eux.

$13=13\times1$ et $7=7\times1$

Le $PGCD$ de $13$ et $7$ est donc $1$ . Ils sont bien premiers entre eux. On peut appliquer le théorème de Bézout et l’équation $13x+7y=1$ admet une solution.

On peut prendre par exemple $x=-1$ et $y=2$

$13(-1)+7\times2=1$

Bob l'éponge se frotte les mains comme pour dire que sa tâche est faite.

Voilà, on arrive au bout de notre fiche de maths sur le théorème de Bézout ! On espère qu’elle t’a aidé à mieux le comprendre et à l’appliquer. Si tu as tout de même des difficultés, n’hésite pas à prendre contact avec un de nos Sherpas pour des cours particuliers en maths.