Sous-espaces vectoriels supplémentaires : exercice corrigé

Sommaire

Exercices sur les sous-espaces vectoriels
Corrigés des exercices sur les espaces vectoriels

Tu cherches à approfondir ta compréhension des sous-espaces vectoriels supplémentaires ? Nous avons ce qu’il te faut avec deux exercices détaillés ! Ces exercices sont conçus pour te transformer en expert des sous-espaces vectoriels supplémentaires et t’assurer une excellente note lors de ton prochain contrôle !

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Exercices d’application sur les sous-espaces vectoriels supplémentaires

Exercice 1 :

💪 Difficulté : niveau 1/3

On note $E=\mathbb{R}^3$

, $F = Vect((1,0,1))$

et $G = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3, 2x-z = 0\}$

.
1. Montrer que $F$

et $G$

sont des sous-espaces vectoriels de $E$

.
2. Montrer que $F$

et $G$

sont supplémentaires dans $E$

Exercice 2 :

💪 Difficulté : niveau 2/3

$E = \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{K})$

, $F = \{f\in\E, f(\pi)=0\}$

et $G$

l’ensemble des fonctions constantes.
Montrer que $F$

et $G$

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$

Corrigés des exercices d’application sur les sous-espaces vectoriels supplémentaires

Exercice 1 :

1. Comme $F$

est l’espace vectoriel engendré par la famille $((1,0,1))$

, c’est un sous-espace vectoriel de $E$

.
On a $G\subset\mathbb{R}^3$

et on vérifie que $(0,0,0)\in G$

.
Soient $(x_1,y_1,z_1)\in G$

, $(x_2,y_2,z_2)\in G$

et $\lambda \in \mathbb{R}$

.
On a $\lambda.(x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) = (\lambda x_1 + x_2, \lambda y_1 + y_2, \lambda z_1 + z_2)$

.
De plus, $2(\lambda x_1 + x_2)-(\lambda z_1 + z_2) = \lambda(2x_1 - z_1)+(2x_2 - z_2) = 0$

.
Donc, $\lambda.(x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) \in G$

. Ainsi, $G$

est un sous-espace vectoriel de $E$

.

2. Soit $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$

. On procède par analyse-synthèse.

$\mathbf{Analyse :}$

On suppose qu’il existe $(u,v) \in F \times G$

tel que $(x,y,z) = u + v$

.
Il existe alors $\lambda \in \mathbb{R}$

tel que $u = \lambda.(1,0,1)$

et on note $v=(a,b,c) \in G$

. On a alors :

$(x,y,z) = \underbrace{\lambda.(1,0,1)}_{\in F} + \underbrace{(a,b,c)}_{\in G}$

Or, $2a-c=0$

, d’où $2x-z=\lambda + 2a - c = \lambda$

.
Puis, $a=x-\lambda = -x+z, b=y$

et $c=-2x+2z$

.

$\mathbf{Synthèse :}$

On pose $u=(2x-z).(1,0,1)$

et $v=(-x+z, y, -2x+2z)$

.
On a :

$u \in F$

;

$v \in G$

car $2(-x+z)-(-2x+2z) = 0$

;

$u + v = (x,y,z)$

Donc, il existe un unique couple $(u,v) \in F \times G$

tel que $(x,y,z) = u+v$

.
Ceci est vrai pour tout $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$

. Donc, $F$

et $G$

sont supplémentaires dans $E$

Exercice 2 :

On vérifie les trois points :
– $F \subset E$

, par définition.
– La fonction nulle appartient bien à $F$

.
– Soient $(f,g) \in F^2$

et $\lambda \in \mathbb{K}$

. Alors : $(\lambda.f + g)(\pi) = \lambda f(\pi) + g(\pi) = 0$

.
$F$

est un sous-espace vectoriel de $E$

On note $\mathbbm{1}$

la fonction constante égale à 1. On a alors $G=Vect((\mathbbm{1}))$

. Donc, $G$

est un sous-espace vectoriel de $E$

Soit $f \in E$

. On procède par analyse-synthèse.
$\mathbf{Analyse :}$

On suppose qu’il existe $h \in F$

et $g \in G$

tels que $f = h + g$

.
On sait qu’il existe $a \in \mathbb{K}$

tel que, pour tout $x \in \mathbb{R}$

, $g(x)=a$

.
Or, $h(\pi)=0$

. Donc, $a=f(\pi)$

. D’où pour tout $x \in \mathbb{R}$

, $h(x) = f(x)-a = f(x)-f(\pi)$

.
$\mathbf{Synthèse :}$

On définit les fonctions $h$

et $g$

, pour tout $x \in \mathbb{R}$

, par $h(x)=f(x)-f(\pi)$

et $g(x)=f(\pi)$

.
On a :
– $h(x)=f(x)-f(\pi) = 0$

, donc $h \in F$

;
– $g \in G$

;
– $f = h+g$

.
Donc, il existe un unique couple $(h,g) \in F \times G$

tel que $f = h+g$

.
Ceci est vrai pour tout $f \in E$

, donc $F$

et $G$

sont supplémentaires dans $E$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720