Qu’est-ce qu’un produit scalaire ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 13/06/2022
produit scalaire

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Produit scalaire

Définition : Produit scalaire

Soit \varphi :  E \times E \to \mathbb{R} une application. On dit que \varphi est un produit scalaire sur E si :
  • \varphi est linéaire à gauche : pour tout y \in E, x \mapsto \varphi \left( x, y \right) est linéaire ;
  • \varphi est linéaire à droite : pour tout x \in E, y \mapsto \varphi \left( x, y \right) est linéaire ;
  • \varphi est symétrique : pour tout \left( x, y \right) \in E^2, \varphi \left( x, y \right) = \varphi \left( y , x \right) ;
  • \varphi est positive : pour tout x \in E, \varphi \left( x, x \right) \ge 0 ;
  • \varphi est définie : pour tout x \in E, \varphi \left( x, x \right) = 0 si, et seulement si, x=0.
  • Remarque

  • Par linéarité à gauche et à droite, pour tout x\in E, \langle 0,x\rangle=0 et \langle x,0\rangle=0.
  • Si une application est symétrique, alors la linéarité à gauche et à droite sont équivalentes.
  • Exemples

    Les exemples suivants sont fondamentaux et à connaître.
  • Le produit scalaire canonique sur E = \mathbb{R}^n est défini par :

        \[\forall \left( x, y \right) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n, \quad \varphi \left( x , y \right) = \sum_{k=1}^n x_k y_k,~où~ x=(x_1,\dots,x_n)~et~y=(y_1,\dots,y_n).\]

    En notant X (resp. Y) la matrice de x (resp. de y) dans la base canonique de \mathbb{R}^n, on a \varphi(x,y)={}^t\!X Y.
  • Si E = \mathcal C^0 \left( \left[ a , b \right] , \mathbb{R} \right), l’application \varphi définie par :

        \[\forall \left(  f , g \right) \in \mathcal C^0 \left( \left[ a , b \right] , \mathbb{R} \right) \times \mathcal C^0 \left( \left[ a , b \right] , \mathbb{R} \right), \quad \varphi \left(  f, g \right) = \int_a^b f \left( t \right) g \left( t \right) \mathrm{d}t\]

    est un produit scalaire sur \mathcal C^0 \left( \left[ a , b \right] , \mathbb{R} \right).
  • Si E = \mathcal M_{n,p} \left( \mathbb{R} \right), l’application \varphi définie par

        \[\forall \left( A , B \right) \in  \mathcal M_{n,p} \left( \mathbb{R} \right) \times \mathcal M_{n,p} \left( \mathbb{R} \right) , \quad \varphi \left( A , B \right) = \mathrm{tr} \left( {}^t\!A  B \right)\]

    est un produit scalaire sur \mathcal M_{n,p} \left( \mathbb{R} \right).
    En notant A=(a_{i,j})_{\substack{1\leq i\leq n \\ 1\leq j \leq p}} et B=(b_{i,j})_{\substack{1\leq i\leq n \\ 1\leq j \leq p}}, on a : \displaystyle\varphi \left( A , B \right) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^pa_{i,j}b_{i,j}.
  • Si E = \mathbb{R}_n \left[ X \right], l’application \varphi définie par

        \[\forall \left( P , Q \right) \in  \mathbb{R}_n \left[ X \right]\times \mathbb{R}_n \left[ X \right] , \quad \varphi \left( P , Q \right) = \sum_{k=0}^n P^{\left( k \right)} \left( 0 \right) Q^{\left( k \right)} \left( 0 \right)\]

    est un produit scalaire sur \mathbb{R}_n \left[ X \right].
  • Le produit scalaire de x et de y est rarement noté \varphi(x,y). On le note \left\langle x , y \right\rangle, \left( x , y \right) ou plus simplement x\cdot y.

    Remarque

    Une récurrence immédiate montre que pour tous \left( x_1, \dotsc, x_n \right) \in E^n et \left( y_1, \dotsc, y_m \right) \in E^m, on a

        \[\left\langle \sum_{i=1}^n x_i , \sum_{j=1}^m y_j \right\rangle = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \left\langle x_i , y_j \right\rangle.\]

    Conseils méthodologiques

    Pour vérifier qu’une application \varphi définie sur E \times E est un produit scalaire sur E, on vérifie les points de la définition.
    Pour le caractère « définie », on utilisera fréquemment un argument du type : un polynôme est nul lorsqu’il a une infinité de racines ou une fonction continue positive sur un segment d’intégrale nulle est nulle, etc.

    Définition : Espace préhilbertien réel

    Soit E un espace vectoriel sur \mathbb{R} muni d’un produit scalaire. On dit que E est un espace préhilbertien réel.
    Si l’on suppose de plus que E est de dimension finie, E est alors un espace euclidien.
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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