Comment dresser un tableau de variations d’une fonction ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 28/06/2022
dresser un tableau de variations d'une fonction

Vous souhaitez connaître les variations d’une fonction ? Rassurez-vous, vous êtes au bon endroit ! Grâce à ce cours, vous saurez aisément comment dresser un tableau de variations d’une fonction grâce à une méthode adaptée et à des conseils méthodologiques de pointe !

Méthode : Dresser le tableau de variations d’une fonction

Conseils méthodologiques : tableau de variations d’une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}.
  • On étudie la dérivabilité de la fonction sur I.
  • On calcule l’expression de f' que l’on factorise si possible.
  • On dresse le tableau de signe de f' sur I.
  • On en déduit le tableau de variation de f de I.
  • Connaître le tableau de variation d’une fonction est utile pour deux situations particulières que nous
    détaillons dans les deux exemples.

    Application de la méthode : déterminer des extremums.

    Déterminer le maximum de la fonction f: x\mapsto \dfrac{\ln(x)}{x}.
    La fonction f est définie et dérivable sur \mathbb{R}_+^* (comme quotient de fonctions dérivables sur \mathbb{R}_+^*, le dénominateur ne s’y annulant pas). De plus :

        \[\forall x\in\mathbb{R}_+^*,\;f'(x)=\dfrac{x\times 1/x-\ln(x)}{x^2}=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}.\]

    Un carré étant toujours positif, f'(x) est du même signe que 1-\ln(x). On étudie le signe de cette expression : 1-\ln(x)\ge 0\Longleftrightarrow \ln(x)\le 1\Longleftrightarrow x\le \e. Notons que (le calcul de ces limites sera présenté ultérieurement):

        \[\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty, \;\lim_{x\to +\infty}f(x)=0,\;f(\e)=\e^{-1}.\]

    On en déduit le tableau de variation de f :

    La fonction f admet e^{-1} pour maximum atteint pour x=e.

    Application de la méthode : déterminer des inégalités.

    Montrons que pour tout x\in\mathbb{R}_+, \sin(x)\le x.
    On considère la fonction g:x\mapsto x-\sin(x), définie et dérivable sur \mathbb{R} (comme différence de fonctions dérivables sur \mathbb{R}). De plus :

        \[\forall x\in\mathbb{R},\;g'(x)=1-\cos(x).\]

    Un cosinus prend ses valeurs dans l’intervalle [-1,1], donc g'(x) est toujours positif.
    La fonction g est croissante sur \mathbb{R} et g(0)=0. on en déduit que :

        \[\forall x\in\mathbb{R}_+,\;g(x)\ge g(0)\Longleftrightarrow x-\sin(x)\ge 0\Longleftrightarrow \sin(x)\le x.\]

    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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