Qu’est-ce que l’intégrale de Riemann ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 08/06/2022
intégrale de riemann

Vous travaillez actuellement sur la notion d’intégrale de Riemann ? Grâce à ce cours dédié à la notion Qu’est-ce que l’intégrale de Riemann, ces notions n’auront bientôt plus aucun secret pour vous ! Étudiez par exemple l’intégrale d’une fonction en escalier pour mieux comprendre ce chapitre et réussir vos interrogations à coup sûr !

Nous allons définir l’intégrale de Riemann sur les fonctions en escalier avant de l’étendre sur les fonctions continues par morceaux.

Intégrale d’une fonction en escalier

Définition : Intégrale de Riemann d’une fonction en escalier

Soit \varphi une fonction en escalier définie sur un intervalle [a,b] et (x_i)_{0\le i\le n} une subdivision adaptée à \varphi telle que : \forall i\in\ [[ 0,n-1]], \forall x\in]x_i,x_{i+1}[,\;\varphi(x)=\lambda_i.
On appelle intégrale de Riemann de la fonction en escalier \varphi l’élément de \mathbb{K} :

    \[\int_{[a,b]}\varphi =\sum_{i=0}^{n-1}\lambda_i(x_{i+1}-x_i).\]

Remarques

  • La valeur de \displaystyle \int_{[a,b]}\varphi ne dépend pas de la subdivision choisie.
  • Si \varphi est à valeur réelle et \varphi(x) \ge 0 pour tout x\in[a, b] alors \lambda_i(x_{i+1}-x_i) est égal à l’aire du rectangle illustré sur la figure ci-contre.
    Il vient naturellement que \displaystyle\int_{[a,b]} \varphi représente l’aire de la portion du plan comprise entre la courbe et l’axe des abscisses si \varphi est positive sur [a,b] (l’opposé de l’aire si elle est négative). En effet, la formule revient à additionner l’aire des rectangles formés par la fonction en escalier.

  • Si \varphi est une fonction constante égale à M, alors : \displaystyle\int_{[a,b]} \varphi=M(b-a).
  • Forme canonique

    Soient f et g deux fonctions en escaliers sur un intervalle [a,b]. On remarque que |f| est aussi une fonction en escaliers sur [a , b ].
  • Linéarité : Pour tout (\lambda,\mu)\in\mathbb{K}^2, \displaystyle \int_{[a,b]}(\lambda f+\mu g)=\displaystyle \lambda\int_{[a,b]}f+\mu\int_{[a,b]} g.
  • Inégalité triangulaire : \displaystyle \left|\int_{[a,b]}f\right|\le \int_{[a,b]}\left|f\right|.
  • Relation de Chasles : Pour tout c\in[a,b], \displaystyle  \int_{[a,b]}f=\int_{[a,c]}f+\int_{[c,b]}f.
  • Croissance (on suppose ici que \mathbb{K}=\mathbb{R}) : Si pour tout x\in[a,b], f(x)\le g(x) alors : \displaystyle \int_{[a,b]}f\le\int_{[a,b]}g.
  • Démonstration

    Pas de difficulté dans cette preuve, la démonstration du premier point oblige de prendre une subdivision adaptée aux deux fonctions en escalier f et g.
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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