Méthode : comment calculer le rang d'une matrice ?

Méthode : comment calculer le rang d’une matrice ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 10/05/2022

Vous ne parvenez pas à calculer le rang d’une matrice ? Vous êtes au bon endroit ! Grâce à cet article dédié à la notion : Méthode : comment calculer le rang d’une matrice ? Vous n’aurez bientôt plus aucun soucis avec cette notion et vos prochaines interrogations écrites et orales se solderont par votre réussite !

Méthode : Calculer le rang d’une matrice

Conseils méthodologiques

Pour déterminer le rang d’une matrice $A$

non nulle, on utilise des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes de $A$

pour montrer que $A$

est équivalente à une matrice de la forme :

$B=\begin{pmatrix} a_1 & * & \dots & \dots & \dots & \dots & * \\ 0 & a_2 & \ddots & & & & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & a_r & * & \dots & * \\ 0 & \dots & \dots & 0 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & & & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & \dots & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}$

où les $r$

coefficients diagonaux $a_1$

, $...$

, $a_r$

sont non nuls. On conclut alors que le rang de $A$

est alors égal à $r$

.
En effet, à l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes et colonnes, on peut passer de $B$

à la matrice $J_r$

qui est de rang $r$

. Donc, $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(B)=\mathrm{rg}(J_r)=r$

Application de la méthode

Déterminons le rang de $A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

. On a :

$\begin{array}{rcll} \mathrm{rg}\begin{pmatrix} \boxed{-1} & -1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & -2 & -1\end{pmatrix} & = & \mathrm{rg}\begin{pmatrix} \boxed{-1} & -1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 4 & 2\\ 0 & 0 & -2 & -1\end{pmatrix} & L_2\leftarrow L_2+L_1 \\ & = & \mathrm{rg}\begin{pmatrix} \boxed{-1} & 2 & -1 & 1\\ 0 & \boxed{4} & 0 & 2\\ 0 & -2 & 0 & -1\end{pmatrix} & C_2\leftrightarrow C_3 \\ & = & \mathrm{rg}\begin{pmatrix} \boxed{-1} & 2 & -1 & 1\\ 0 & \boxed{4} & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} & L_3\leftarrow L_3+\frac{1}{2}L_2 \\ & = & 2. \end{array}$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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Méthode : Calculer le rang d’une matrice