Si tu as compris ce qu’était la puissance d’un nombre, alors il n’y a aucune raison que tu ne parviennes pas à comprendre ce qu’est la puissance d’une matrice. Dans ce cours, tu trouveras toutes les définitions et les propositions indispensables pour maîtriser la notion de puissance d’une matrice. Et si malgré tout, les matrices te donnent des maux de tête, nos professeurs d’algèbre t’accompagneront pour que tu puisses les apprivoiser et les manipuler avec aisance. 🧠
📍Définition : Puissance d’une matrice
Soit
Autrement dit,
Pur tout
Exemple : Calculons les puissances de la matrice
On a :
Donc, pour tout
📍 Définition : Matrice nilpotente
SoitRemarque : Une matrice strictement triangulaire (supérieure ou inférieure) est nilpotente.
☝️ Proposition :
SoitDémonstration : On le prouve par récurrence sur .
📍Définition :
SoientExemple :
Donc, la matrice
☝️ Proposition : Formule du binôme de Newton
Soient
Démonstration : On prouve cette formule par récurrence sur en utilisant la formule de Pascal.
🚨ATTENTION 🚨
La commutativité est indispensable, sans l’hypothèse « A et B commutent », on ne peut pas appliquer la formule du binôme de Newton !
et
Donc,
Tout ce qu’on peut écrire est :
Remarque : On sait que les matrices scalaires commutent avec toutes les matrices de . Cette remarque peut faciliter le calcul des puissances de matrices.
Exemple :
SoitOn pose
Notons que :
On en déduit que :
📍Définition :
SoientOn définit la matrice
Exemple :
SoitUn polynôme annulateur permet notamment de trouver les puissances d’une matrice (voir dans la partie « méthodes pas à pas »).
Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720