Qu'est-ce que le procédé de Gram Schmidt ?

Tu te demandes ce qu’est le procédé de Gram Schmidt ? On te répond juste ici, avec ce cours complet sur le procédé de Gram Schmidt ! Tu pourras même profiter de précieux conseils méthodologiques 😉

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☝️ Proposition : Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt

Soit $(e_1,...e_p)$

une famille libre de vecteurs de E. Il existe une unique famille orthonormée $(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p)$

vérifiant :

$$\forall k\in[\![1,p]\!]$, Vect$(e_1,...,e_k)=$Vect$(\varepsilon_1,...,\varepsilon_k)$.$

Démonstration :

On procède par récurrence sur $p$

.
$\textbf{Initialisation : }$

Lorsque $p=1$

. Soit $(e_1)$

une famille libre. Comme $e_1\ne1$

, on peut poser $\varepsilon_1 = \frac{1}{\| \left (e_1\right) \|} \varepsilon_1$

Par construction, on a $\| \left (e_1\right) \|=1$

, la famille $(\varepsilon_1)$

est orthonormée.
$\textbf{Hérédité :}$

Soit $p\in\mathbb{N}^*$

, On suppose la propriété vraie au rang $p$

, montrons qu’elle est vraie au rang $p+1$

. Soit $(e_1,...,e_p,e_{p+1})$

une famille libre de $E$

. La sous-famille $(e_1,...,e_p)$

est une famille libre de $E$

, $(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p)$

telle que

$$\forall i\in[\![1,p]\!]$, Vect$(e_1,...,e_i)=$Vect$(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p)$.$

On cherche $\varepsilon_{p+1}$

sous la forme

$$ \varepsilon_{p+1}=\lambda_1\varepsilon_1+...+\lambda_p\varepsilon_p+\lambda_{p+1} e_{p+1}$

La famille $(\varepsilon_1,...\varepsilon_p)$

est orthonormée, donc

$$\forall k\in[\![1,p]\!]$, \langle \varepsilon_{p+1},\varepsilon_k \rangle = \lambda_k+\lambda_{p+1}\langle e_{p+1},\varepsilon_k \rangle$

Ainsi, la famille $(\varepsilon_1,...\varepsilon_p,\varepsilon_{p+1})$

est orthonormée si, et seulement si,

$$\forall k\in[\![1,p]\!],\lambda_k=-\lambda_{p+1}\langle e_{p+1},\varepsilon_k \rangle$

de sorte que si l’on pose

$$ \varepsilon_{p+1}=\lambda_{p+1}(e_{p+1}-\langle e{p+1},\varepsilon_1 \rangle \varepsilon_1 - ... - \langle \e{p+1},\varepsilon_p \rangle \varepsilon_p)$

la famille $(\varepsilon_1,...\varepsilon_p,\varepsilon_{p+1})$

est orthogonale.
De plus, $(e_1,...e_p,e_{p+1})$

est libre, donc $e_{p+1}\notin Vect(e_1,...e_p)$

D’après l’hypothèse de récurrence, $Vect(e_1,...e_p)=Vect(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p)$

, donc $e_{p+1} \notin Vect(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p)$

.
Donc $\| \left ( e_{p+1}-\langle \varepsilon_{p+1},\varepsilon_1 \rangle\varepsilon_1-...- \langle \varepsilon_{p+1},\varepsilon_p \rangle \varepsilon_p \right ) \|\ne 0$

Ainsi, en posant $\lambda_{p+1}=\frac{1}{\| \left ( e_{p+1}-\langle e_{p+1},\varepsilon_1 \rangle\varepsilon_1-...- \langle e_{p+1},\varepsilon_p \rangle \varepsilon_p \right ) \|}$

, la famille $(\varepsilon_1,...\varepsilon_p,\varepsilon_{p+1})$

est orthonormée. De plus, par construction

$$\varepsilon_{p+1}=\underbrace{\lambda_{p+1}}_{\ne 0} e_{p+1} + \underbrace{\lambda_{p}e_p+...+\lambda_{1}e_1}_{\in Vect(e_1,...,e_p)=Vect(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p)$

Ainsi, on a bien $Vect(e_1,...,e_p,e_{p+1})=Vect(\varepsilon_1,...,\varepsilon_p,\varepsilon_{p+1})$

💡 Conseils méthodologiques

Le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, bien que pas toujours facile à mettre en œuvre, doit être parfaitement maîtrisé, au moins sur des exemples simples.

$\mathbb{R}^3$

est muni de son produit scalaire usuel. Soit $F=Vect((1,2,0),(1,1,3))$

. On cherche une base orthonormée de $F$

. La famille ((1, 2, 0) , (1, 1, 3)) est une famille libre de $F$

, on lui applique le procédé de Gram- Schmidt.
On pose $e_1=\frac{1}{\| \left ( 1,2,0 \right ) \|}(1,2,0)=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2,0).$

On cherche $\~e_2$

sous la forme $(1,1,3)+ae_1$

avec $a\in \mathbb{R}$

. On veut $\langle \~e_2, e_1 \rangle=0$

.
Or, $\langle \~e_2, e_1 \rangle=\langle (1,1,3),e_1 \rangle +a\langle \~e_2, e_1 \rangle=\langle (1,1,3),e_1 \rangle +a$

car $\langle e_1, e_1 \rangle=||e_1||^2=1$

.
On a donc $a=-\langle (1,1,3),e_1 \rangle=-\frac{1}{\sqrt{5}} \langle (1,1,3),(1,2,0) \rangle = -\frac{3}{\sqrt{5}}$

.
Ce qui donne $\~e_2=(1,1,3)-\frac{3}{\sqrt{5}}x\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2,0)=\frac{1}{5}(2,-1,15)$

.
On pose $e_2=\frac{1}{\| \left ( \~e_2 \right ) \|}\~e_2$

Comme $\~e_2=\sqrt{\frac{46}{5}}$

, on en déduit finalement que $e_2=\frac{1}{\sqrt{230}}(2,-1,15)$

.
Ainsi, $F=Vect(e_1,e_2)$

et la famille $(e_1,e_2)$

est libre. Donc la famille $(e_1,e_2)$

est une base orthonormée de $F$

Corollaire : Existence de bases orthonormées dans le cas euclidien

Tout espace euclidien admet des bases orthonormées

Démonstration :

Soit $(f_1,...,f_n)$

une base de $E$

. On applique le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt à cette famille libre.
On note $(e_1,...,e_n)$

la famille obtenue. Par construction, elle est orthonormale, donc libre. De plus,

$$Vect(e_1,...,e_n)=Vect(f_1,...,f_n)=E,$

Donc $(e_1,...,e_n)$

est génératrice : c’est une base orthonormée de $E$

Corollaire :

Toute famille orthonormée d’un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormée de E.

Démonstration :

Soit $(e_1,...,e_r)$

une famille orthonormée d’un espace euclidien $E$

. Cette famille étant libre, on la complète en une base de E, disons $(e_1,...,e_r,e^*_{r+1},...,e^*_n)$

. On applique le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. On notera que le procédé ne change pas les vecteurs $e_1,...,e_r$

car la famille $(e_1,...,e_r)$

est orthonormée. La famille $(e_1,...,e_r ,e_{r+1},...,e_n)$

obtenue est une base orthonormée de $E$

☝️ Proposition : Expression du produit scalaire dans une base orthonormée

Soit $E$

un espace euclidien dont on note $(e_1,...,e_n)$

une base orthonormée.
Pour tout $(x=\sum_{i=1}^n x_{i}e_{i}, y=\sum_{i=1}^n y_{i}e_{i}) \in ExE$

, on a $\langle (x,y) \rangle =\sum_{i=1}^n x_{i}y_{i}$

et $||x||^2= \sum_{i=1}^n x^2_i$

Remarque :

Cette proposition assure que dans une base orthonormée le calcul du produit scalaire et de la norme se fait comme dans $\mathbb{R}^n$

muni de son produit scalaire usuel.

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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