Probabilité sur un univers fini

Vous êtes en prépa MPSI/MP21 et travaillez actuellement sur la notion de probabilité sur un univers fini ? Vous êtes au bon endroit ! Grâce à ce cours dédié à la notion de probabilité sur un univers fini, vous pouvez désormais partir serein(e) pour votre prochaine interrogation écrite ou orale !

Si tu te sens perdu(e) dans le labyrinthe des probabilités sur un univers fini, des cours particuliers de maths en ligne pourrait être le fil d’Ariane dont tu as besoin pour t’en sortir ! 🧶

Probabilités sur un univers fini

Définition : Ensemble des parties de Ω

On définit l’ensemble des parties de $\Omega$

, noté $\mathcal P \left( \Omega \right)$

, l’ensemble

$\mathcal P \left( \Omega \right) = \left\{ A, \; A \subset \Omega \right\}.$

Définition : Probabilité sur un univers fini

On appelle probabilité sur $\Omega$

toute application $\mathbb{P} : \mathcal P \left( \Omega \right) \rightarrow \left[ 0 , 1 \right]$

vérifiant :

$\mathbb{P} \left( \Omega \right)= 1$

;

pour tous événements $A$

et $B$

incompatibles, on a

$\mathbb{P} \left( A \cup B \right) = \mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( B \right).$

Remarque

Par récurrence, on montre que, pour tous événements $A_1, \dotsc, A_n$

deux à deux incompatibles, on a

$\mathbb{P} \left( A_1 \cup \cdots \cup A_n \right) = \sum_{k=1}^n \mathbb{P} \left( A_k \right).$

Définition : Espace probabilisé

Un espace probabilisé (fini) est un couple $\left( \Omega, \mathbb{P} \right)$

où $\Omega$

est un univers fini et $\mathbb{P}$

est une probabilité sur $\Omega$

Proposition : Propriétés fondamentales

Soit $\left( \Omega, \mathbb{P} \right)$

un espace probabilisé. Alors :

pour tout $A \in \mathcal P \left( \Omega \right)$

, $\mathbb{P} \left( \overline{A} \right)=1 - \mathbb{P} \left( A \right)$

, en particulier, $\mathbb{P} \left( \varnothing \right) = 0$

;

pour tout $\left( A, B \right) \in \mathcal P \left( \Omega \right)^2$

, si $A \subset B$

, alors $\mathbb{P} \left( B \backslash A \right) = \mathbb{P} \left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \right)$

. En particulier $\mathbb{P} \left( A \right) \le \mathbb{P} \left( B \right)$

(croissance de la probabilité) ;

pour tout $\left( A, B \right) \in \mathcal P \left( \Omega \right)^2$

, $\mathbb{P} \left( A \cup B \right) =\mathbb{P} \left( A \right)+ \mathbb{P} \left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right)$

Démonstration

Comme les événements $A$

et $\overline{A}$

vérifient $A \cap \overline{A} = \varnothing$

et $A \cup \overline{A} = \Omega$

, d’après la définition , on a

$1 = \mathbb{P} \left( \Omega \right) =\mathbb{P} \left( A \right) + \mathbb{P} \left( \overline{A} \right),$

soit $\mathbb{P} \left( \overline{A} \right) = 1 - \mathbb{P} \left( A \right)$

.
Si l’on remarque que $\varnothing = \overline{\Omega}$

, alors on a $\mathbb{P} \left( \varnothing \right) = 1 - 1=0$

Il est clair que les événements $A$

et $B \backslash A$

sont incompatibles et vérifient $B = A \cup \left( B \backslash A \right)$

. Ainsi, d’après le second point de la définition, on a $\mathbb{P} \left( B \right)= \mathbb{P} \left( A \right)+ \mathbb{P} \left( B \backslash A \right)$

.
Comme $\mathbb{P} \left( B \backslash A \right) \ge 0$

, on a en particulier, $\mathbb{P} \left( A \right) \le \mathbb{P} \left( B \right)$

Il suffit de remarquer que $A \cup B = \left( A \backslash \left( A \cap B \right) \right) \cup \left( A \cap B \right) \cup \left( B \backslash \left( A \cap B \right) \right)$

. Les événements étant deux à deux incompatibles, on a

$\mathbb{P} \left( A \cup B \right)= \mathbb{P} \left( A \backslash \left( A \cap B \right) \right)+ \mathbb{P} \left( A \cap B \right) + \mathbb{P} \left( B \backslash \left( A \cap B \right) \right) .$

Comme $A \cap B \subset A$

et $A \cap B \subset B$

, en utilisant (ii), on a $\mathbb{P} \left( A \backslash \left( A \cap B \right) \right) = \mathbb{P} \left( A \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right)$

et $\mathbb{P} \left( B \backslash \left( A \cap B \right) \right) = \mathbb{P} \left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right)$

, ce qui donne finalement

$\mathbb{P} \left( A \cup B \right) =\mathbb{P} \left( A \right)+ \mathbb{P} \left( B \right) - \mathbb{P} \left( A \cap B \right).$

Proposition

Si $\Omega = \left\{ \omega_1, \dotsc, \omega_n \right\}$

et si $p_1, \dotsc ,p_n$

sont des nombres positifs tels que $p_1 + \cdots + p_n =1$

, alors il existe une unique probabilité $\mathbb{P}$

sur $\Omega$

telle que

$\forall i \in [[1, n]], \quad \mathbb{P} \left( \left\{ \omega_i \right\} \right) = p_i.$

La suite $\left( p_1, \dotsc, p_n \right)$

s’appelle une distribution de probablité sur $\Omega$

Démonstration

L’unicité est claire.
Réciproquement, si $\mathbb{P}$

est une application définie sur $\mathcal P \left( \Omega \right)$

telle que pour tout $i \in [[1, n]]$

, $\mathbb{P} \left( \left\{ \omega_i \right\} \right) = p_i$

, il est aisé de vérifier que $\mathbb{P}$

vérifie les deux points de la définition.

Remarque

Autrement dit, pour définir une probabilité $\mathbb{P}$

sur un univers fini $\Omega$

, il suffit de définir $\mathbb{P}$

sur chaque singleton de $\Omega$

(aussi appelé événement élémentaire) de sorte que la somme donne $1$

. La formule générale est alors donnée par :

$\forall A \in \mathcal P \left( \Omega \right), \quad \mathbb{P} \left( A \right) = \sum_{\omega \in A} \mathbb{P} \left( \left\{ \omega \right\} \right).$

Exemple

Si $\Omega = [[1 , n]]$

, il existe une unique probabilité $\mathbb{P}$

sur $\Omega$

telle que

$\forall k \in \Omega , \quad \mathbb{P} \left( \left\{ k \right\} \right) = \frac1n.$

Ainsi, pour tout $A \subset \Omega$

, on a

$\mathbb{P} \left( A \right) = \frac{\mathrm{card} \left( A \right)}{n}.$

Cette probabilité s’appelle la probabilité uniforme sur $\Omega$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720