Comment montrer qu’une fonction est lipschitzienne ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 13/06/2022
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Vous cherchez à montrer qu’une fonction est lipschitzienne ? Grâce à ce cours dédié à la notion de fonction lipschitzienne, maîtriser ce chapitre sur le bout des doigts grâce à des méthodologies complètes et adaptées !

 

Méthode : Montrer qu’une fonction est lipschitzienne

Conseils méthodologiques

Pour montrer qu’une fonction est lipschitzienne, on peut utiliser l’inégalité des accroissements finis.

Application de la méthode :

Montrons que \arctan est lipschitzienne sur \mathbb{R}.
La fonction \arctan est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout x\in\mathbb{R}, |\arctan'(x)|=\dfrac{1}{1+x^2}\leq 1.
Donc, par l’inégalité des accroissements finis, \forall(x,y)\in\R^2,\quad |\arctan(y)-\arctan(x)|\leq |y-x|.
livre maths mpsi vuibert

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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