Comment dériver une fonction exponentielle ?

Mélodie - Mis à jour le 28/03/2022
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Vous souhaitez connaître les éléments essentiels relatifs à l‘étude d’une fonction exponentielle ? Sa dérivée, ses variations, ainsi que ses limites ? Grâce à ce cours de mathématiques dédié à l’étude d’une fonction exponentielle, répondez à toutes vos interrogations !

La fonction exponentielle

La fonction \ln est continue et strictement croissante sur \mathbb{R}_+^* et \ln(\mathbb{R}_+^*)=\mathbb{R}. D’après le théorème de la bijection, la fonction logarithme népérien réalise une bijection de \mathbb{R}_+^* sur \mathbb{R}. On appelle fonction exponentielle, notée \exp, la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.

Proposition

La fonction \exp est définie et de classe \mathcal{C}^1 sur \R. Pour tout x\in\R, on a :

    \[(\exp)'(x)=\exp(x).\]

    \[(\exp)'(x)=\exp(x).\]

Démonstration

La fonction \ln est dérivable sur \mathbb{R}_+^* et sa dérivée ne s’annule pas sur \mathbb{R}_+^*, donc sa fonction réciproque est dérivable sur \mathbb{R}. Ainsi :

    \[\forall x\in\R, \;(\exp)'(x)=\dfrac{1}{(\ln)'(\exp(x))}=\dfrac{1}{1/\exp(x)}=\exp(x).\]

    \[\forall x\in\R, \;(\exp)'(x)=\dfrac{1}{(\ln)'(\exp(x))}=\dfrac{1}{1/\exp(x)}=\exp(x).\]

La fonction \exp est dérivable sur \mathbb{R}, elle est donc continue sur \mathbb{R}, ce qui justifie que \exp est de classe \mathcal{C}^1 sur \mathbb{R}.

Remarque

La définition même de la fonction exponentielle nous assure que : \forall x\in\mathbb{R}, \exp(x)>0.

Proposition

Pour tout (x,y)\in\mathbb{R}^2, on a :
  • \exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y)
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