Comment dériver une fonction exponentielle ?

Mélodie - Mis à jour le 28/03/2022
matrice et application linéaire exercice corrigé

Vous souhaitez connaître les éléments essentiels relatifs à l‘étude d’une fonction exponentielle ? Sa dérivée, ses variations, ainsi que ses limites ? Grâce à ce cours de mathématiques dédié à l’étude d’une fonction exponentielle, répondez à toutes vos interrogations !

La fonction exponentielle

La fonction \ln est continue et strictement croissante sur \mathbb{R}_+^* et \ln(\mathbb{R}_+^*)=\mathbb{R}. D’après le théorème de la bijection, la fonction logarithme népérien réalise une bijection de \mathbb{R}_+^* sur \mathbb{R}. On appelle fonction exponentielle, notée \exp, la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.

Proposition

La fonction \exp est définie et de classe \mathcal{C}^1 sur \R. Pour tout x\in\R, on a :

    \[(\exp)'(x)=\exp(x).\]

Démonstration

La fonction \ln est dérivable sur \mathbb{R}_+^* et sa dérivée ne s’annule pas sur \mathbb{R}_+^*, donc sa fonction réciproque est dérivable sur \mathbb{R}. Ainsi :

    \[\forall x\in\R, \;(\exp)'(x)=\dfrac{1}{(\ln)'(\exp(x))}=\dfrac{1}{1/\exp(x)}=\exp(x).\]

La fonction \exp est dérivable sur \mathbb{R}, elle est donc continue sur \mathbb{R}, ce qui justifie que \exp est de classe \mathcal{C}^1 sur \mathbb{R}.

Remarque

La définition même de la fonction exponentielle nous assure que : \forall x\in\mathbb{R}, \exp(x)>0.

Proposition

Pour tout (x,y)\in\mathbb{R}^2, on a :
  • \exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y);
  • \displaystyle\exp\left(-x\right)=\dfrac{1}{\exp(x)};
  • Pour tout x\in\R, \exp(x)\ge 1+x;
  • \forall n\in\Z, \exp(x)^n=\exp(nx);
  • \displaystyle\exp\left(x-y\right)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)};
  • \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=0;
  • \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\exp(x)=+\infty.
  • Démonstration

  • Soient (x,y)\in\mathbb{R}, on va montrer que : \exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y). On pose a=\exp(x) et b=\exp(y) de sorte que : x=\ln(a) et y=\ln(b), ainsi :
  •     \[\exp(x+y)=\exp(\ln(a)+\ln(b))=\exp(\ln(ab))=ab=\exp(x)\exp(y).\]

  • La relation \displaystyle\exp\left(-x\right)=\dfrac{1}{\exp(x)} se déduit directement de la précédente. On montre la relation \forall n\in\N, \exp(x)^n=\exp(nx) par récurrence, on en déduit que cette relation est vraie pour n\in\Z.
  • La relation \displaystyle\exp\left(x-y\right)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)} est une conséquence des deux premières relations.
  • On étudie les variations de la fonction g:x\mapsto \exp(x)- (1+x) sur \R.
  • Les limites se déduisent directement des limites de la fonction \ln.
  • Notation

    On note \e=\exp(1). En utilisant les propriétés de la fonction exponentielle, on peut montrer que pour tout x\in\mathbb{R} : \exp(x)=\e^x.
    C’est cette notation qui sera privilégiée dans la suite.

     

    Voici la représentation graphique de la fonction exponentielle (c’est le symétrique de la courbe représentant la fonction ln par rapport à la droite d’équation y = x ) :

     

    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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    Mélodie
    Journaliste
    Hello ! Spécialisée dans toutes les questions de l'enseignement supérieur et l'orientation, j'espère que mes articles t'aideront à trouver ta voie et devenir la meilleure version de toi-même. Mes autres sujets de prédilection ? L'écologie, la science et la littérature.

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