Comment montrer la convergence d’une série ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 08/06/2022
convergence d'une série

Vous étudiez actuellement la convergence d’une série ? Grâce à ce cours dédié à la notion Comment montrer la convergence d’une série ?, grâce à une méthodologie bien rodée, réussi avec brio tes prochains exercices et contrôles sur cette notion !

Méthode 1 : Montrer la convergence d’une série et calculer sa somme

Montrons la convergence et calculons la somme de la série \displaystyle{\sum_{n \ge 1} \mathrm{arctan} \left( \frac{1}{n^2+ n +1} \right)}.
  • En utilisant \mathrm{arctan} \left( x\right)\underset{x \to 0}{\sim} x, on en déduit que

        \[\mathrm{arctan} \left( \frac{1}{n^2+ n +1} \right) \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{n^2+n+1}  \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{n^2}.\]

    Par équivalence avec une série de Riemann convergente, on en déduit que la série \displaystyle{\sum_{n \ge 1} \mathrm{arctan} \left( \frac{1}{n^2+ n +1} \right)} converge.
  • On remarque que pour tout n \in \mathbb{N}^*, \mathrm{arctan} \left( \dfrac{1}{n^2+ n +1} \right) = \mathrm{arctan} \left( n +1 \right) - \mathrm{arctan} \left( n \right). En effet, \tan \left( \mathrm{arctan} \left( \dfrac{1}{n^2+ n +1} \right)  \right) = \dfrac{1}{n^2+n+1} et \tan \left( \mathrm{arctan} \left( n +1 \right) - \mathrm{arctan} \left( n \right) \right) = \dfrac{1}{n^2+n +1}. Comme \mathrm{arctan} \left( \dfrac{1}{n^2+ n +1} \right) et \mathrm{arctan} \left( n +1 \right) - \mathrm{arctan} \left( n \right) sont des \’el\’ements de \left]- \dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} \right[, on en déduit que

        \[\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \mathrm{arctan} \left( \dfrac{1}{n^2+ n +1} \right) = \mathrm{arctan} \left( n +1 \right) - \mathrm{arctan} \left( n \right).\]

    Soit N \in \mathbb{N}^*. Par télescopage, on a \displaystyle{\sum_{n = 1}^N \mathrm{arctan} \left( \frac{1}{n^2+ n +1} \right) = \mathrm{arctan} \left( N +1 \right) - \mathrm{arctan} \left( 1 \right)}. Comme \lim\limits_{N \to + \infty} \left( \mathrm{arctan} \left( N +1 \right) - \mathrm{arctan} \left( 1 \right) \right) = \dfrac{\pi}{4}, on en déduit que \displaystyle{\sum_{n = 1}^{+ \infty} \mathrm{arctan} \left( \frac{1}{n^2+ n +1} \right) = \frac{\pi}{4}}.
  • livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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