Montrer qu'un ensemble est un espace vectoriel

Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, il faut vérifier certaines conditions fondamentales. Une fois maîtrisées, ces concepts ne seront plus un mystère pour toi. Notre objectif est de rendre ces notions claires et accessibles, pour que tu puisses les appliquer avec aisance.

Découvre comment l’ensemble des fonctions continues peut constituer un espace vectoriel, et bien d’autres subtilités, en te plongeant dans notre cours de soutien scolaire en maths online dédié aux étudiants en MPSI. 📈

☝️Proposition : 3 conditions à vérifier pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel

Soient $(E,+,.)$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel et $F$ un ensemble.
On a l’équivalence : $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si, et seulement si :

$F \subset E$ .

$0_E \in F$ ;

pour tout $(u,v) \in F \times F$ et $\lambda \in \mathbb{K}$ , $\lambda.u+v \in F$ .

Démonstration :

( $\Rightarrow$ ) On suppose que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , donc $F$ est une partie de $E$ .
Comme $F$ est non vide, il existe $u \in F$ .
De plus, $F$ est stable par combinaison linéaire, donc $0_E = 0.u \in F$ .
Le troisième point est clair car $F$ est stable par combinaison linéaire.
( $\Leftarrow$

) On suppose que $F \subset E$ , $0_E \in F$ et que, pour tout $(u,v) \in F \times F$ et $\lambda \in \mathbb{K}$ , $\lambda.u+v \in F$ .
Comme $0_E \in F$ , $F$ est non vide.
On montre par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$

, $\mathcal{H}_n : " si (\lambda_1,...,\lambda_n) \in \mathbb{K}^n$

et $(u_1,...,u_n) \in F^n$

, alors $\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \in F "$

.
$\textbf{Initialisation : }$

pour $n=1$

. Soit $\lambda \in \mathbb{K}$ et $u \in \ F$

. Comme $0_E \in F$ , le troisième point donne : $\lambda.u = \lambda.u + 0_E \in F$

.
Donc $\mathcal{H}_1$

est vraie.
$\textbf{Hérédité : }$

Soit $n \in \mathbb{N}^*$

. On suppose $\mathcal{H}_n$

vraie et on montre $\mathcal{H}_{n+1}$

.
Soient $(\lambda_1,...,\lambda_n) \in \mathbb{K}^{n+1}$

et $(u_1,...u_{n+1}) \in F^{n+1}$

. Montrons que $\lambda_1.u_1 + ... + \lambda_{n+1}.u_{n+1} \in F$

Cas 1 : $\lambda_{n+1} = 0$

. Il suffit d’appliquer directement l’hypothèse de récurrence $\mathcal{H}_n$

Cas 2 : $\lambda_{n+1} \ne 0$

. On a :

$\lambda_1.u_1 + ... + \lambda_{n+1}.u_{n+1} = \lambda_{n+1}.(\underbrace{\frac{\lambda_1}{\lambda_{n+1}}.u_1 + ... + \frac{\lambda_n}{\lambda_{n+1}}.u_n}_{=u} + u_{n+1}).$

Or, par hypothèse de récurrence $u \in F$ et $u_{n+1} \in F$

. Par le troisième point, $u + u_{n+1} \in F$

. Puis, par $\mathcal{H}_1$

, $\lambda_1.u_1 + ... + \lambda_{n+1}.u_{n+1} = \lambda_{n+1}(u + u_{n+1}) \in F$

Par le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$

, $\mathcal{H}_n$

est vraie.
Maintenant, si $(\lambda_i)_{i \in I}$

est une famille de scalaires presque nulle et $(x_i) \in F^I$

, en notant $n$

le nombre de scalaire non nul, il suffit de remarquer que $\sum_{i \in I} \lambda_i x_i = 0_E \in F$

lorsque $n=0$

et, quitte à renommer les scalaires non nuls, il suffit d’appliquer $\mathcal{H}_n$

lorsque $n \ne 0$

.
Ainsi, $F$ est stable par combinaison linéaire.

💡Conseils méthodologiques

C’est cette proposition qui est utilisée en pratique pour montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel.
Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, on montre en général que c’est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de référence.

Exemple :

Soit $I$

un intervalle de $\mathbb{R}$

.
Montrons que l’ensemble $\mathcal{C}(I,\mathbb{K})$

des fonctions continues sur $I$

et à valeur dans $\mathbb{K}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(I,\mathbb{K})$

On a l’inclusion $\mathcal{C}(I,\mathbb{K}) \subset \mathcal{F}(I,\mathbb{K})$

La fonction nulle est continue sur $I$

Soit $(f,g) \in \mathcal{C}(I,\mathbb{K}) \times \mathcal{C}(I,\mathbb{K})$

et $\lambda \in \mathbb{K}$ . La fonction $\lambda.f+g$

est continue comme combinaison linéaire de fonctions continues.

Donc, $\mathcal{C}(I,\mathbb{K})$

est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(I,\mathbb{K})$

.
En particulier, muni des opérations de $\mathcal{F}(I,\mathbb{K})$

, $\mathcal{C}(I,\mathbb{K})$

est un espace vectoriel.

💡 Conseils méthodologiques

Soient E un sous-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E.

On a toujours l’inclusion {0_E} ⊂ F. En particulier, pour montrer que F = {0_E} il suffit de montrer que F ⊂ {0_E}.
On a toujours l’inclusion F ⊂ E. En particulier, pour montrer que F = E, il suffit de montrer que E ⊂ F.

☝️Proposition :

Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel et $(F_i)_{i \in I}$

une famille de sous-espaces vectoriels de $E$ indexée par un ensemble non vide $I$

.
L’intersection $\bigcap_{i \in I} F_i$

est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Démonstration :

On note $F = \bigcap_{i \in I} F_i$

Pour tout $i \in I$

, $F_i \subset E$

, donc, $F \subset E$ .

Pour tout $i \in I$

, $0_E \in F_i$

car $F_i$

est un sous-espace vectoriel de $E$ , donc, $0_E \in F$ .

Soient $(u,v) \in F \times F$ et $\lambda \in \mathbb{K}$ .
Alors, pour tout $i \in I$

, $(u,v) \in F_i \times F_i$

.
Or, pour tout $i \in I$

, $F_i$

est un sous-espace vectoriel de $E$ , donc $\lambda.u+v \in F_i$

. D’où, $\lambda.u+v \in F$ .

Ainsi, $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

🚨 Attention ! 🚨

En général, l’union de sous-espaces vectoriels n’est pas un sous-espace vectoriel.
En effet, si on note $E = \mathbb{R}^2$

et on considère les droites vectorielles $F_1 = \{(x,y) \in E, y=0\}$

et $F_2 = \{(x,y) \in E, x=0\}$

. Ce sont deux sous-espaces vectoriels de $E$ .
Les vecteurs $x_1 = (1,0)$

et $x_2 = (0,1)$

appartiennent à $F_1 \cup F_2$

mais $x_1 + x_2 = (1,1) \ne F_1 \cup F_2$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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