Tu cherches une méthode de dénombrement ? Dans cet article nous t’en présentons même deux ! N’oublie pas d’appliquer ce que tu as appris en faisant des exercices corrigés. Ainsi, tu auras toutes les cartes en main pour réussir ta prochaine interro de maths !
Méthode 1. Dénombrement d’une situation.
Pour tout , on note le nombre de parties de ne contenant pas deux entiers consécutifs. On se propose de donner une expression explicite de en fonction de .
On choisit une partie de ne contenant pas deux entiers consécutifs.
On discute que appartienne à ou non.
Si n’appartient pas à , alors pour choisir , il faut et il suffit de choisir une partie de , ce que l’on peut faire de façons.
Si , alors . Pour choisir , il faut et il suffit de choisir une partie de ne contenant pas deux entiers consécutifs et d’y ajouter , ce que l’on peut faire de façons.
Donc
Or, (il y a deux parties de {1} ne contenant pas deux entiers consécutifs: {1} et ) et (il y a trois parties de {1,2} ne contenant pas deux entiers consécutifs: {1}, {2} et ).
est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 à coefficients constants dont l’équation caractéristique est . Les racines sont , ainsi il existe deux réels et tels que
En utilisant les valeurs de et , on a et , d’où
Méthode 2. Utilisation dans un cadre abstrait.
Soit un anneau commutatif fini et intègre, i.e. tel que :
Montrons que est un corps.
Soit non nul. Soit . Soit tel que . On a donc . Or, , donc par hypothèse, , puis
On a montré que est injective. Comme est fini, d’après une proposition, est surjective. il s’ensuit que 1 admet un antécédent par : il existe tel que . Par commutativité, on a , donc est inversible.
On a montré que tout élément non nul est inversible, donc est un corps.
La Rédac des Sherpas, c'est près de 100 auteurs passionnés d'éducation qui mettent leur expertise à ta disposition pour t'aider à profiter pleinement de tes études. Étudiants, profs particuliers ou spécialistes : avec eux, tu es sûr d'avoir les meilleurs conseils ! ⚡️