Les fractions rationnelles : méthode et définition

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 23/06/2022
les fractions rationnelles

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Définitions et généralités sur les fractions rationnelles

Définition : Fraction rationnelle

Une fraction rationnelle à coefficients dans \mathbb{K} est un quotient de deux polynômes de \mathbb{K}[X]. On note \mathbb{K}(X) l’ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans \mathbb{K}.

Proposition : Relation d’équivalence

On définit sur \mathbb{K}(X) la relation binaire \mathscr{R} par : pour tous \frac {P_1}{Q_1} et \frac {P_2}{Q_2} dans \mathbb{K}(X) avec P_1, Q_1, P_2, Q_2 quatre polynômes de \mathbb{K}[X] avec Q_1 et Q_2 non nuls :
\frac{P_1}{Q_1} \mathscr{R} \frac{P_2}{Q_2} \Longleftrightarrow P_1Q_2 = P_2Q_1.
Alors, \mathscr{R} est une relation d’équivalence sur \mathbb{K}(X).

Démonstration :

On vérifie facilement que \mathscr{R} est réflexive, symétrique et transitive.

Définition : Égalité entre deux fractions rationnelles

Deux fractions rationnelles sont égales si, et seulement si, elles sont dans la même classe d’équivalence pour la relation d’équivalence \mathscr{R}.

Exemple :

\frac{1}{X-1}, \frac{X}{X^2-X}, \frac{X+1}{X^2-1} sont des fractions rationnelles égales. On dit que ce sont des représentants de la même fraction rationnelle.

Remarque :

L’ensemble des polynômes \mathbb{K}[X] s’injecte naturellement dans \mathbb{K}(X) en considérant l’application injective
\varphi : \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R}(X)
P \mapsto \frac{P}{1}

Définition :

Soit F \in \mathbb{K}(X) et P,Q \in \mathbb{K}[X]. On dit que \frac{P}{Q} est un représentant irréductible de F si F=\frac{P}{Q} et P \wedge Q = 1.

Définition : Opérations

On définit la somme et le produit de deux fractions rationnelles par les formules suivantes :
\frac{P_1}{Q_1} + \frac{P_2}{Q_2} = \frac{P_1Q_2 + P_2Q_1}{Q_1Q_2}
\frac{P_1}{Q_1} \times \frac{P_2}{Q_2} = \frac{P_1P_2}{Q_1Q_2}.

Remarque :

On vérifie facilement que le résultat de la somme ou du produit de deux fractions rationnelles ne dépend pas du choix du représentant dans la classe d’équivalence pour la relation d’équivalence \mathscr{R}.

Théorème :

Pour l’addition et la multiplication définies ci-dessus, (\mathbb{K}(X),+,\times) est un corps.

Démonstration :

On vérifie chaque point un par un.

Définition :

Soit F = \frac{P}{Q} une fraction rationnelle de \mathbb{K}(X) non nulle. On appelle degré de F l’entier relatif noté deg(F) défini par :

    \[    $deg(F) = deg(P) - deg(Q)$. \]

Par convention, on pose deg0 = -\infty.

Remarque :

On montre facilement que la notion de degré d’une fraction rationnelle ne dépend pas du choix du représentant dans la classe d’équivalence pour la relation d’équivalence \mathscr{R}.

Exemple :

deg(\frac{X^3}{X-1}) = 3-1 = 2, deg(\frac{X^3}{X^4-1})= 3-4 = -1.

Proposition :

Les propriétés sur degré des polynômes restent valables pour les fractions rationnelles :
  • deg(F_1 + F_2) \leq max\{deg(F_1), deg(F_2)\};
  • deg(F_1F_2) = deg(F_1) + deg(F_2).
  • Démonstration :

    Se déduit directement des propriétés sur les degrés des polynômes.

    Définition :

    Soit F = \frac{P}{Q} une fraction rationnelle irréductible de \mathbb{K}(X).
  • Les racines de P sont appelées zéros de F;
  • Les racines de Q sont appelées pôles de F.
  • Remarque :

    Si a est une racine de multiplicité k de P, on dit que a est un zéro de multiplicité k de F. De la même façon, si a est une racine de multiplicité k de Q, on dit que a est un pôle de multiplicité k de F.

    Définition :

    Soit F = \frac{P}{Q} une fraction rationnelle irréductible de \mathbb{K}(X), on note \mathscr{P} l’ensemble des pôles de F. On définit la fonction rationnelle associée à F par :

        \[    $ \~ F : $ \mathbb{K} $ $\backslash\mathscr{P} \rightarrow \mathbb{K} $. \]

        \[  $\~  x \mapsto \frac{\tilde{P}(x)}{\tilde{Q}(x)}$. \]

    On note \mathbb{K}(x) l’ensemble des fonctions rationnelles à coefficients dans \mathbb{K}.

    Remarque :

    Comme pour les polynômes, on ne fera pas de différence entre \~ F et F.
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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