Tu cherches une méthode de dénombrement ? Dans cet article nous t’en présentons même deux ! N’oublie pas d’appliquer ce que tu as appris en faisant des exercices corrigés. Ainsi, tu auras toutes les cartes en main pour réussir ta prochaine interro de maths !
Pour aller encore plus loin, découvre les méthodes de dénombrement les plus efficaces et prépare-toi à résoudre des problèmes complexes en t’aidant de nos cours de soutien scolaire en maths. 🧠
Méthode 1. Dénombrement d’une situation.
Pour tout , on note le nombre de parties de ne contenant pas deux entiers consécutifs. On se propose de donner une expression explicite de en fonction de .
On choisit une partie de ne contenant pas deux entiers consécutifs.
On discute que appartienne à ou non.
Si n’appartient pas à , alors pour choisir , il faut et il suffit de choisir une partie de , ce que l’on peut faire de façons.
Si , alors . Pour choisir , il faut et il suffit de choisir une partie de ne contenant pas deux entiers consécutifs et d’y ajouter , ce que l’on peut faire de façons.
Donc
Or, (il y a deux parties de {1} ne contenant pas deux entiers consécutifs: {1} et ) et (il y a trois parties de {1,2} ne contenant pas deux entiers consécutifs: {1}, {2} et ).
est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 à coefficients constants dont l’équation caractéristique est . Les racines sont , ainsi il existe deux réels et tels que
En utilisant les valeurs de et , on a et , d’où
Méthode 2. Utilisation dans un cadre abstrait.
Soit un anneau commutatif fini et intègre, i.e. tel que :
Montrons que est un corps.
Soit non nul. Soit . Soit tel que . On a donc . Or, , donc par hypothèse, , puis
On a montré que est injective. Comme est fini, d’après une proposition, est surjective. il s’ensuit que 1 admet un antécédent par : il existe tel que . Par commutativité, on a , donc est inversible.
On a montré que tout élément non nul est inversible, donc est un corps.
Passé par une Prépa HEC puis l'ESCP, j'ai donné des centaines d'heures de cours particuliers avant de créer Les Sherpas avec Étienne. Passionné d'éducation, je te partage désormais mes meilleurs conseils afin de t'aider à réussir et t'épanouir dans tes études. Cheers ✌️💖 !