Méthode de calculs de primitives

William Mievre - Mis à jour le 22/06/2022

Vous travaillez actuellement sur des calculs de primitives ? Grâce à ce cours dédié à la méthode de calculs de primitives, ces notions n’auront plus aucun secret pour vous grâce à des méthodologies de pointe !

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Méthodes de calculs des primitives

Proposition : Intégration par parties

Soient $u$

et $v$

deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$

sur un segment $[a,b]$

, alors :

$\int_a^b u'(t)v(t)\mathrm{d}t=\big[u(t)v(t)\big]_a^b-\int_a^b u(t)v'(t)\mathrm{d}t.$

Démonstration

Il suffit d’intégrer la relation $(uv)'=u'v+uv'$

entre $a$

et $b$

Exemple

Soit $x\in\mathbb{R}$

. Calculons $\displaystyle I=\int_0^x t e^t\mathrm{d}t$

par intégration par parties : on pose $u'(t)=e^t$

de sorte que $u(t)=e^t$

et $v(t)=t$

. Les fonctions $u$

et $v$

sont de classe $\mathcal{C}^1$

sur $[0,x]$

si $x$

est positif (ou $[x,0]$

si $x$

est négatif), par intégration par parties :

$I=\big[te^t\big]_0^x- \int_0^x e^t\mathrm{d}t=xe^x-e^x+1=(x-1)e^x+1.$

Les primitives de $x\mapsto xe^x$

sont donc les fonctions $x\mapsto (x-1)e^x+C$

avec $C\in\mathbb{R}$

Proposition : Changement de variable

Soit $f$

une fonction continue sur un intervalle $I$

et $\varphi$

une fonction de classe $\mathcal{C}^1$

sur $[a,b ]$

à valeurs dans $I$

. Alors :

$\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm{d}x=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(y)\mathrm{d}y.$

Démonstration

En utilisant les formules de dérivations (notamment la dérivée d’une composée), on peut montrer que les fonctions $\displaystyle{x\mapsto \int_a^x f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm{d}t}$

et $\displaystyle{x\mapsto\int_{\varphi(a)}^{\varphi(x)} f(t)\mathrm{d}t}$

sont des primitives de $x\mapsto f(\varphi(x))\varphi'(x)$

sur $[a,b]$

qui s’annulent en $a$

. On en déduit que ces fonctions sont égales.

Exemple

Calculons $\displaystyle I=\int_0^1 \sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t$

par changement de variable : on pose $t=\cos(u)$

, alors :

$\sqrt{1-t^2}=\sqrt{1-\cos(u)^2}=|\sin(u)|$

;

on détermine les nouvelles bornes : lorsque $t=0$

, $u=\dfrac{\pi}{2}$

et lorsque $t=1$

, $u=0$

;

on calcule l’élément différentiel : $\mathrm{d}t=-\sin(u)\mathrm{d}u$

Par changement de variable, on a :

$I=\int_{\pi/2}^0 -|\sin(u)|\sin(u)\mathrm{d}u=\int_0^{\pi/2} \sin(u)^2\mathrm{d}u=\int_0^{\pi/2} \dfrac{1+\cos(2u)}{2}\mathrm{d}u=\dfrac{\pi}{4}.$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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William Mievre

Co-fondateur des Sherpas

Passé par une Prépa HEC puis l'ESCP, j'ai donné des centaines d'heures de cours particuliers avant de créer Les Sherpas avec Étienne. Passionné d'éducation, je te partage désormais mes meilleurs conseils afin de t'aider à réussir et t'épanouir dans tes études. Cheers ✌️💖 !

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