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Exercice : Matrice et application linéaire
Soit ![\[A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix}\]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-95487ee7e7b8f6d16a44fd4b8b08aa32_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. On considère ![f:\begin{array}[t]{rcl} \mathcal{M}_2(\mathbb{K}) & \to & \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\\ M & \mapsto & A M \end{array}](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-1d3e277cecc1d408e7a0ea6f803f1132_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. 
dans la base canonique 
de 
. . Corrigé de l’exercice
\begin{enumerate}
et 
. On a :
![\[f(\lambda.M+N)=A\times(\lambda.M+N)=\lambda.A M+ A N=\lambda.f(M)+f(N).\]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-240666450855b706b6e66a74007ff5d9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
est linéaire. De plus, le produit de matrices de appartient à . Donc,
.
![\[f(E_{1,1})=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-3db0212a9a85b220ee46566d29cee0ba_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[f(E_{2,1})=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-f7bb044d04880fdd7f9a7d1699018568_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[f(E_{1,2})=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-f02fc862084b4ecc7329bb753d6418c0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[f(E_{2,2})=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-a5f6a2c342255ec60aeafe6ba0a64cdf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix}\]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-dd14119a08487ccc77de2ceb67abb0a7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. 
Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720
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