Matrice et application linéaire exercice corrigé

William Mievre - Mis à jour le 08/07/2022

Sommaire

Exercice : Matrice et application linéaire
Corrigé de l’exercice

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Exercice : Matrice et application linéaire

Soit

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix}$

$\in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$

. On considère $f:\begin{array}[t]{rcl} \mathcal{M}_2(\mathbb{K}) & \to & \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\\ M & \mapsto & A M \end{array}$

Montrer que $f \in \mathcal{L}\big(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\big)$

Déterminer la matrice de $f$

dans la base canonique $\mathcal{B}=\big(E_{1,1},E_{2,1},E_{1,2},E_{2,2}\big)$

de $\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$

Déterminer la trace de $f$

Corrigé de l’exercice

\begin{enumerate}

Soient $(M,N)\in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\times \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$

et $\lambda \in\mathbb{K}$

. On a :

$f(\lambda.M+N)=A\times(\lambda.M+N)=\lambda.A M+ A N=\lambda.f(M)+f(N).$

Donc, $f$

est linéaire. De plus, le produit de matrices de $\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$

appartient à $\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$

.
Donc, $f \in \mathcal{L}\big(\mathcal{M}_2(\mathbb{K})\big)$

On a :

$f(E_{1,1})=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

$f(E_{2,1})=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$f(E_{1,2})=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$f(E_{2,2})=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Donc,

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix}$

On a $\tr(f)=\tr(A)=4$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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William Mievre

Co-fondateur des Sherpas

Passé par une Prépa HEC puis l'ESCP, j'ai donné des centaines d'heures de cours particuliers avant de créer Les Sherpas avec Étienne. Passionné d'éducation, je te partage désormais mes meilleurs conseils afin de t'aider à réussir et t'épanouir dans tes études. Cheers ✌️💖 !

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Daniel dit :

18 janvier 2025 à 9h46

Je voudrais plus d’exercices d’approfondissement sur les applications linéaires avec leurs corrigés types.

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1. La Rédac des Sherpas dit :
  
  24 janvier 2025 à 11h42
  
  Bonjour,
  
  Merci pour ton message et ta suggestion ! Nous prenons note de ta demande et allons réfléchir à ajouter davantage d’exercices d’approfondissement sur les applications linéaires avec des corrigés détaillés dans nos prochains contenus. En attendant, n’hésite pas à parcourir nos autres articles et fiches pour t’entraîner.
  
  À bientôt,
  
  Répondre

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18 janvier 2025 à 9h46

Je voudrais plus d’exercices d’approfondissement sur les applications linéaires avec leurs corrigés types.

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1. La Rédac des Sherpas dit :
  
  24 janvier 2025 à 11h42
  
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