Comment manipuler une borne inférieure et supérieure ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 22/06/2022
manipuler une borne inférieure et supérieure

Vous cherchez à manipuler une borne inférieure et supérieure dans vos exercices ? Grâce à ce cours dédié à la manipulation d’une borne inférieure et supérieure, il vous sera facile d’étudier des suites complexes grâce à des méthodes adaptées.

Méthode 1 : Manipuler les bornes supérieures/inférieures.

Soit A un ensemble non vide de \mathbb{R} et borné. Soit B = \left\{ \left| x-y \right|, \; \left( x, y  \right) \in A^2  \right\}.

Application de la méthode

Donnons la borne supérieure et inférieure de B.
  • On a B \subset \mathbb{R}_+ et 0 \in B, donc la borne inférieure de B est 0.
  • Comme A est borné et A est non vide, B est non vide et majoré, donc B admet une borne supérieure. De plus, pour tous x,y \in A avec x \le y, on a \left| x - y \right| = y- x\le \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right), donc \sup \left( B \right) \le \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right).
  • Soit \varepsilon >0. D’après la caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieure, il existe x_1 et y_1 dans A tels que x_1 \le y_1 et \inf \left( A \right) \le x_1 \le \inf \left( A\right)+ \varepsilon et \sup \left( A \right) - \varepsilon \le y_1 \le \sup \left( A \right). On a donc

        \[\sup \left( A \right) - \inf \left( A \right) - 2 \varepsilon \le  y_1 - x_1= \left| y_1 - x_1 \right|  \le \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right).\]

    D’après la caractérisation de la borne supérieure, on a \sup \left( B \right) = \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right).

    Méthode 2 : Étude d’une suite du type u_{n+1}= f \left(u_n \right)

    Dans cet exemple, nous allons étudier une suite du type u_{n+1} = f \left( u_n \right). On pourra retenir le plan d’étude utilisé ici.

    Application de la méthode

  • Etude des variations de f. Soit f : x \mapsto \mathrm{e}^x. f est strictement croissante sur \mathbb{R}.
  • Etude du signe de f \left( x \right) -x. Soit g : x \mapsto f \left( x \right) - x. g est dérivable sur \mathbb{R} et g' \left( x \right) = \mathrm{e}^x -1. On a :

        \[g ' \left( x \right) \ge 0 \iff x \ge 0 .\]

    Il s’ensuit que g est décroissante sur \mathbb{R}_- et croissante sur \mathbb{R}_+, ainsi g atteint un minimum global en 0, donc g \left( x \right) \ge g \left(0 \right) = 1. En particulier, f \left( x \right) \ge x pour tout réel x.
  • Sens de variation de \left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}. En prenant x=u_n, on a u_{n+1} = f \left( u_n \right) \ge u_n, donc la suite \left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} est croissante.
  • Limite de \left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}. Montrons que la suite \left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} diverge vers + \infty.
  • On suppose que la suite \left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} est majorée, d’après le théorème de la limite monotone, \left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} vers un réel \ell. Par continuité de f, on a \ell = f \left( \ell \right), soit g \left( \ell \right) = 0. Or, l’équation g \left( x \right) = 1 n’a pas de solution réelle car pour tout réel x, g \left( x \right) \ge 1.
    On en déduit que \left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} n’est pas majorée. Comme elle est croissante, elle diverge vers +\infty.

    Méthode 3 : Étude d’une suite définie implicitement.

    Dans cet exemple, nous allons étudier une suite définie comme l’unique solution d’une équation.

    Application de la méthode

    On se propose d’étudier la suite \left( x_n \right)_{n \in \mathbb{N}}x_n est l’unique solution de l’équation \tan \left( x \right) = x dans l’intervalle \left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[.
  • Existence de x_n. Soit n \in \mathbb{N} et f : x \mapsto \tan \left( x \right) - x. f est dérivable sur \left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[ et

        \[\forall x\in \left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[, \quad f_n ' \left( x \right) = \tan^2 \left(  x \right).\]

    Comme \tan^2 \left( x \right) > 0 pour tout x \in \left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[ \backslash \left\{ n \pi \right\}, on en déduit que f est strictement croissante sur \left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[. Or, \lim\limits_{x \to \left( n \pi - \pi/2 \right)^+ } f \left( x \right) = - \infty et \lim\limits_{x \to \left( n \pi - \pi/2 \right)^-} f \left( x \right) = + \infty.
    Le théorème de la bijection assure que l’équation f \left( x \right) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle \left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[.
  • Limite de la suite \left( x_n \right)_{n \in \mathbb{N}}. Comme x_n \ge n \pi - \dfrac{\pi}{2} et \lim\limits_{n \to + \infty} \left( n \pi - \dfrac{\pi}{2} \right) = + \infty, par comparaison, on en déduit que la suite \left( x_n \right)_{n \in \mathbb{N}} diverge vers + \infty.
  • Comme x_n \in \left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[ et \lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{n \pi - \pi /2}{n \pi} = 1 et \lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{n \pi + \pi /2}{n \pi} = 1, le théorème d’encadrement assure que \lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{x_n}{n \pi}=1.
  • livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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