Comment manipuler une borne inférieure et supérieure ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 22/06/2022
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Vous cherchez à manipuler une borne inférieure et supérieure dans vos exercices ? Grâce à ce cours dédié à la manipulation d’une borne inférieure et supérieure, il vous sera facile d’étudier des suites complexes grâce à des méthodes adaptées.

Méthode 1 : Manipuler les bornes supérieures/inférieures.

Soit A un ensemble non vide de \mathbb{R} et borné. Soit B = \left\{ \left| x-y \right|, \; \left( x, y  \right) \in A^2  \right\}.

Application de la méthode

Donnons la borne supérieure et inférieure de B.
  • On a B \subset \mathbb{R}_+ et 0 \in B, donc la borne inférieure de B est 0.
  • Comme A est borné et A est non vide, B est non vide et majoré, donc B admet une borne supérieure. De plus, pour tous x,y \in A avec x \le y, on a \left| x - y \right| = y- x\le \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right), donc \sup \left( B \right) \le \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right).
  • Soit \varepsilon >0. D’après la caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieure, il existe x_1 et y_1 dans A tels que x_1 \le y_1 et \inf \left( A \right) \le x_1 \le \inf \left( A\right)+ \varepsilon et \sup \left( A \right) - \varepsilon \le y_1 \le \sup \left( A \right). On a donc

        \[\sup \left( A \right) - \inf \left( A \right) - 2 \varepsilon \le  y_1 - x_1= \left| y_1 - x_1 \right|  \le \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right).\]

        \[\sup \left( A \right) - \inf \left( A \right) - 2 \varepsilon \le  y_1 - x_1= \left| y_1 - x_1 \right|  \le \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right).\]

    D’après la caractérisation de la borne supérieure, on a \sup \left( B \right) = \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right).

    Méthode 2 : Étude d’une suite du type u_{n+1}= f \left(u_n \right)

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