Equation différentielle du premier ordre

Vous cherchez à résoudre une équation différentielle du premier ordre ? Rassurez-vous, vous êtes au bon endroit ! Grâce à ce cours dédié à la résolution d’équation différentielle du premier ordre, vous profitez de conseils méthodologiques de pointe pour faire face à ce type d’exercices.

Méthode 1 : Résoudre une équation différentielle du premier degré.

Résoudre l’équation différentielle sur $\mathbb{R}_+^*$

$(E)\;\;t(1+\ln(t)^2)y'+2\ln(t)y=1.$

Conseils méthodologiques

On souhaite résoudre l’équation

$(E)\;\;\;\;\forall t\in I,\; a(t)y'+b(t)y=c(t),$

avec $a$ , $b$ et $c$ , 3 fonctions continues sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{K}$

On normalise l’équation différentielle, quitte à découper l’intervalle $I$ . On est amené à résoudre

$(E_1)\;\;\;\;\forall t\in I,\; y'+a_1(t)y=b_1(t).$

On détermine une primitive de $a_1$ pour trouver l’ensemble des solutions à l’équation homogène associée à $(E_1)$

On cherche une solution particulière de $(E_1)$

, pour cela plusieurs solutions :

– une solution simple et évidente fonctionne;
– le second membre est de la forme $P(t)e^{\lambda t}$ où $P$

est une fonction polynomiale;
– on utilise la méthode de la variation de la constante.
Si le second membre est sous la forme d’une somme de fonction, on pourra utiliser le principe de superposition.

On trouve l’ensemble des solutions de $(E)$

Application de la méthode

On normalise l’équation différentielle :

$(E_1)\;\;\;\;\forall t\in I,\; y'+\dfrac{2\ln(t)}{t(1+\ln(t)^2)}y=\dfrac{1}{t(1+\ln(t)^2)}.$

On détermine une primitive de $t\mapsto \dfrac{2\ln(t)}{t(1+\ln(t)^2)}$

Cette fonction est sous la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u:t\mapsto 1+\ln(t)^2$ . Une primitive de cette fonction est $\displaystyle t\mapsto \ln\left(1+\ln(t)^2\right)$

Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions $t\longmapsto Ce^{-\ln\left(1+\ln(t)^2\right)}=\dfrac{C}{1+\ln(t)^2}$ avec $C\in \mathbb{R}$

On cherche une solution particulière de $(E_1)$

, on va utiliser la méthode de la variation de la constante.

On cherche une solution particulière de $(E_1)$ sous la forme $y_1: t\longmapsto \dfrac{C(t)}{1+\ln(t)^2}$ où $C$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$

. On a alors :

$\forall t\in I,\; C'(t)=\dfrac{1}{t}.$

On en déduit que $C:t\longmapsto \ln(t)$ . On obtient la solution particulière suivante : $t\mapsto \dfrac{\ln(t)}{1+\ln(t)^2}$

L’ensemble des solutions de $(E)$

est :

$\mathcal{S}=\left\{t\mapsto \dfrac{C+\ln(t)}{1+\ln(t)^2},\; C\in\mathbb{R}\right\} .$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720