Comment résoudre une équation différentielle du premier ordre ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 28/06/2022
équation différentielle du premier ordre

Vous cherchez à résoudre une équation différentielle du premier ordre ? Rassurez-vous, vous êtes au bon endroit ! Grâce à ce cours dédié à la résolution d’équation différentielle du premier ordre, vous profitez de conseils méthodologiques de pointe pour faire face à ce type d’exercices.

Méthode 1 : Résoudre une équation différentielle du premier degré.

Résoudre l’équation différentielle sur \mathbb{R}_+^* :

    \[(E)\;\;t(1+\ln(t)^2)y'+2\ln(t)y=1.\]

Conseils méthodologiques

On souhaite résoudre l’équation

    \[(E)\;\;\;\;\forall t\in I,\; a(t)y'+b(t)y=c(t),\]

avec a, b et c, 3 fonctions continues sur un intervalle I de \mathbb{R} et à valeurs dans \mathbb{K}.
  • On normalise l’équation différentielle, quitte à découper l’intervalle I. On est amené à résoudre

        \[(E_1)\;\;\;\;\forall t\in I,\; y'+a_1(t)y=b_1(t).\]

  • On détermine une primitive de a_1 pour trouver l’ensemble des solutions à l’équation homogène associée à (E_1).
  • On cherche une solution particulière de (E_1), pour cela plusieurs solutions :
  • – une solution simple et évidente fonctionne;
    – le second membre est de la forme P(t)e^{\lambda t}P est une fonction polynomiale;
    – on utilise la méthode de la variation de la constante.
    Si le second membre est sous la forme d’une somme de fonction, on pourra utiliser le principe de superposition.
  • On trouve l’ensemble des solutions de (E).
  • Application de la méthode

  • On normalise l’équation différentielle :

        \[(E_1)\;\;\;\;\forall t\in I,\; y'+\dfrac{2\ln(t)}{t(1+\ln(t)^2)}y=\dfrac{1}{t(1+\ln(t)^2)}.\]

  • On détermine une primitive de t\mapsto \dfrac{2\ln(t)}{t(1+\ln(t)^2)}.

  • Cette fonction est sous la forme \dfrac{u'}{u} avec u:t\mapsto 1+\ln(t)^2. Une primitive de cette fonction est \displaystyle t\mapsto \ln\left(1+\ln(t)^2\right).
  • Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions t\longmapsto Ce^{-\ln\left(1+\ln(t)^2\right)}=\dfrac{C}{1+\ln(t)^2} avec C\in \mathbb{R}.
  • On cherche une solution particulière de (E_1), on va utiliser la méthode de la variation de la constante.

  • On cherche une solution particulière de (E_1) sous la forme y_1: t\longmapsto \dfrac{C(t)}{1+\ln(t)^2}C est une fonction dérivable sur \mathbb{R}_+^*. On a alors :

        \[\forall t\in I,\; C'(t)=\dfrac{1}{t}.\]

    On en déduit que C:t\longmapsto \ln(t). On obtient la solution particulière suivante : t\mapsto \dfrac{\ln(t)}{1+\ln(t)^2}.
  • L’ensemble des solutions de (E) est :

        \[\mathcal{S}=\left\{t\mapsto \dfrac{C+\ln(t)}{1+\ln(t)^2},\; C\in\mathbb{R}\right\} .\]

  • livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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