Manipuler une borne inférieure et supérieure

Sommaire

Manipuler les bornes supérieures/inférieures.
Étude d'une suite du type
Étude d'une suite définie implicitement.

Vous cherchez à manipuler une borne inférieure et supérieure dans vos exercices ? Grâce à ce cours dédié à la manipulation d’une borne inférieure et supérieure, il vous sera facile d’étudier des suites complexes grâce à des méthodes adaptées.

Pour aller plus loin plonge-toi dans les subtilités des bornes inférieures et supérieures avec un cours de maths qui te transformera en expert des suites complexes. 📉

Méthode 1 : Manipuler les bornes supérieures/inférieures.

Soit $A$

un ensemble non vide de $\mathbb{R}$

et borné. Soit $B = \left\{ \left| x-y \right|, \; \left( x, y \right) \in A^2 \right\}$

Application de la méthode

Donnons la borne supérieure et inférieure de $B$

On a $B \subset \mathbb{R}_+$

et $0 \in B$

, donc la borne inférieure de $B$

est $0$

Comme $A$

est borné et $A$

est non vide, $B$

est non vide et majoré, donc $B$

admet une borne supérieure. De plus, pour tous $x,y \in A$

avec $x \le y$

, on a $\left| x - y \right| = y- x\le \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right)$

, donc $\sup \left( B \right) \le \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right)$

Soit $\varepsilon >0$

. D’après la caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieure, il existe $x_1$

et $y_1$

dans $A$

tels que $x_1 \le y_1$

et $\inf \left( A \right) \le x_1 \le \inf \left( A\right)+ \varepsilon$

et $\sup \left( A \right) - \varepsilon \le y_1 \le \sup \left( A \right)$

. On a donc

$\sup \left( A \right) - \inf \left( A \right) - 2 \varepsilon \le y_1 - x_1= \left| y_1 - x_1 \right| \le \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right).$

D’après la caractérisation de la borne supérieure, on a $\sup \left( B \right) = \sup \left( A \right) - \inf \left( A \right)$

Méthode 2 : Étude d’une suite du type $u_{n+1}= f \left(u_n \right)$

Dans cet exemple, nous allons étudier une suite du type $u_{n+1} = f \left( u_n \right)$

. On pourra retenir le plan d’étude utilisé ici.

Application de la méthode

Etude des variations de $f$

. Soit $f : x \mapsto \mathrm{e}^x$

. $f$

est strictement croissante sur $\mathbb{R}$

Etude du signe de $f \left( x \right) -x$

. Soit $g : x \mapsto f \left( x \right) - x$

. $g$

est dérivable sur $\mathbb{R}$

et $g' \left( x \right) = \mathrm{e}^x -1$

. On a :

$g ' \left( x \right) \ge 0 \iff x \ge 0 .$

Il s’ensuit que $g$

est décroissante sur $\mathbb{R}_-$

et croissante sur $\mathbb{R}_+$

, ainsi $g$

atteint un minimum global en $0$

, donc $g \left( x \right) \ge g \left(0 \right) = 1$

. En particulier, $f \left( x \right) \ge x$

pour tout réel $x$

Sens de variation de $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$

. En prenant $x=u_n$

, on a $u_{n+1} = f \left( u_n \right) \ge u_n$

, donc la suite $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$

est croissante.

Limite de $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$

. Montrons que la suite $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$

diverge vers $+ \infty$

On suppose que la suite $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$

est majorée, d’après le théorème de la limite monotone, $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$

vers un réel $\ell$

. Par continuité de $f$

, on a $\ell = f \left( \ell \right)$

, soit $g \left( \ell \right) = 0$

. Or, l’équation $g \left( x \right) = 1$

n’a pas de solution réelle car pour tout réel $x$

, $g \left( x \right) \ge 1$

.
On en déduit que $\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$

n’est pas majorée. Comme elle est croissante, elle diverge vers $+\infty$

Méthode 3 : Étude d’une suite définie implicitement.

Dans cet exemple, nous allons étudier une suite définie comme l’unique solution d’une équation.

Application de la méthode

On se propose d’étudier la suite $\left( x_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$

où $x_n$

est l’unique solution de l’équation $\tan \left( x \right) = x$

dans l’intervalle $\left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[$

Existence de $x_n$

. Soit $n \in \mathbb{N}$

et $f : x \mapsto \tan \left( x \right) - x$

. $f$

est dérivable sur $\left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[$

$\forall x\in \left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[, \quad f_n ' \left( x \right) = \tan^2 \left( x \right).$

Comme $\tan^2 \left( x \right) > 0$

pour tout $x \in \left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[ \backslash \left\{ n \pi \right\}$

, on en déduit que $f$

est strictement croissante sur $\left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[$

. Or, $\lim\limits_{x \to \left( n \pi - \pi/2 \right)^+ } f \left( x \right) = - \infty$

et $\lim\limits_{x \to \left( n \pi - \pi/2 \right)^-} f \left( x \right) = + \infty$

.
Le théorème de la bijection assure que l’équation $f \left( x \right) = 0$

admet une unique solution dans l’intervalle $\left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[$

Limite de la suite $\left( x_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$

. Comme $x_n \ge n \pi - \dfrac{\pi}{2}$

et $\lim\limits_{n \to + \infty} \left( n \pi - \dfrac{\pi}{2} \right) = + \infty$

, par comparaison, on en déduit que la suite $\left( x_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$

diverge vers $+ \infty$

Comme $x_n \in \left] n \pi - \dfrac{\pi}{2} , n \pi + \dfrac{\pi}{2} \right[$

et $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{n \pi - \pi /2}{n \pi} = 1$

et $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{n \pi + \pi /2}{n \pi} = 1$

, le théorème d’encadrement assure que $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{x_n}{n \pi}=1$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720