Coincé sur un exercice portant sur les fractions rationnelles ?
Exercices d’application sur les fractions rationnelles
Exercice 1 :
⏰ Durée : 10 min
💪 Difficulté : niveau 1/3
Trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle suivante :
1. 
;
;
2. 
.
.
Exercice 2 :
⏰ Durée : 10 min
💪 Difficulté : niveau 2/3
Soient
et 
. Montrer que 
n’admet que des racines complexes simples.
Corrigés des exercices d’application sur les fractions rationnelles
Exercice 1 :
1. On note
. 
qui sont les racines de 
soit : 1 et 2. Ainsi :
![\[ $X^2 - 3X + 2 = (X-1)(X-2)$. \]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-5145b83148cd88236b612156026bf372_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, on détermine la partie entière de 
. On en déduit qu’il existe 
tel que :
![\[ $F = $\frac{\alpha}{X-1} $ + $\frac{\beta}{X-2} + 1$. \]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-b7f72e860e14bbcc703d9001093b2739_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
– Pour le pôle 1, on multiplie la relation par
:
![\[\frac{(X^2 + 2X + 5)(X-1)}{(X-1)(X-2)} = (X-1)(1+ \frac{\beta}{X-2}) + \alpha.\]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-9161c6cd0058b48b514cc836f703e519_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
En évaluant en 1, on obtient
.
– Pour le pôle 2, on multiplie la relation par
:
![\[\frac{(X^2 + 2X + 5)(X-2)}{(X-1)(X-2)} = (X-2)(1+ \frac{\alpha}{X-1}) + \beta.\]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-f41c6438507e28ebdf1a6b91643aa536_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
En évaluant en 2, on obtient
.
Finalement :
. 
. qui sont les racines de 
. Il n’y a qu’un pôle multiple : 
. 
, on détermine la partie entière de : 
. On en déduit qu’il existe 
tel que :
![\[F=1+\dfrac{\alpha}{X-1}+\dfrac{\beta}{(X-1)^2}+\dfrac{\gamma}{(X-1)^3}.\]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-38b210209fb1f2ef944aa34946b69ed5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
– pour trouver
, on multiplie la relation par :
![\[X^3+1=(X-1)^3+\alpha(X-1)^2+\beta(X-1)+\gamma.\]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-01fa91b972317486af39222852f5a68f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, on obtient 
. – pour trouver
, on calcule 
, on a alors :
![\[\dfrac{X^2+X+1}{(X-1)^2}=1+\dfrac{\alpha}{X-1}+\dfrac{\beta}{(X-1)^2}.\]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-ddb16804fa8dddcdcd9f7209a5958daa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
On multiplie la relation par
:
![\[X^2+X+1=(X-1)^2+\alpha(X-1)+\beta.\]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-15540591a167ce8c5d05c759e000eb59_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
En évaluant en
, on obtient 
. – pour trouver
, on calcule 
, on a alors :
![\[\dfrac{X+2}{X-1}=1+\dfrac{\alpha}{X-1}.\]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-b86783fda57d6fa6040391974a392921_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
:
![\[X+2=(X-1)+\alpha.\]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-d282376a1fa779dbc4ba523b84c6bf34_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, on obtient 
. Finalement :
. Exercice 2 :
Si
, le résultat est évident.
Soit , 
. Soit une racine complexe de multiplicité au moins 2. Alors 
et 
. Or, il est clair que 
, ainsi 
. On en déduit donc que :
![\[ $P_n(\alpha) = $P_n'(\alpha) + \frac {\alpha^n}{n!}$, soit $\frac {\alpha^n}{n!} = 0$. \]](https://sherpas.com/blog/content/ql-cache/quicklatex.com-a7033bce26c081d00c4e9a5fe15c033d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, or il est clair que 
n’est pas une racine de .
En conclusion,
n’admet pas de racine complexe de multiplicité au moins 2, donc n’admet que des racines complexes simples.
Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720
