Exercices sur les fractions rationnelles

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 28/04/2022
exercices sur les fractions rationnelles

Coincé sur un exercice portant sur les fractions rationnelles

Exercices d’application sur les fractions rationnelles

Exercice 1 :

⏰ Durée : 10 min

💪 Difficulté : niveau 1/3

Trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle suivante :
1. \dfrac{X^2+2X+5}{X^2-3X+2};
2. \dfrac{X^3+1}{(X-1)^3}.

Exercice 2 :

⏰ Durée : 10 min

💪 Difficulté : niveau 2/3

Soient n \in \mathbb{N}^* et P_n = 1 + X + \frac {X^2}{2!} + ... + \frac {X^n}{n!}. Montrer que P_n n’admet que des racines complexes simples.

Corrigés des exercices d’application sur les fractions rationnelles

Exercice 1 :

1. On note F = \frac{X^2+2X+5}{X^2 - 3X + 2}.
  • On détermine les pôles de F qui sont les racines de X^2 - 3X + 2 soit : 1 et 2. Ainsi :

        \[ $X^2 - 3X + 2 = (X-1)(X-2)$. \]


  • On a deg(F) = 0, on détermine la partie entière de F : X^2+2X+5 = 1 \times (X^2 - 3X + 2) + 5X + 3. On en déduit qu’il existe (\alpha,\beta) \in \mathbb{C}^2 tel que :

        \[ $F = $\frac{\alpha}{X-1} $ + $\frac{\beta}{X-2} + 1$. \]


  • On détermine les coefficients des pôles simples.
    – Pour le pôle 1, on multiplie la relation par X-1 :

        \[\frac{(X^2 + 2X + 5)(X-1)}{(X-1)(X-2)} = (X-1)(1+ \frac{\beta}{X-2}) + \alpha.\]


    En évaluant en 1, on obtient \alpha = -8.
    – Pour le pôle 2, on multiplie la relation par X-2 :

        \[\frac{(X^2 + 2X + 5)(X-2)}{(X-1)(X-2)} = (X-2)(1+ \frac{\alpha}{X-1}) + \beta.\]


    En évaluant en 2, on obtient \beta = 13.
    Finalement : F = 1 - \frac{8}{X-1} + \frac{13}{X-2}.
  • 2. On pose F=\dfrac{X^3+1}{(X-1)^3}.
  • On détermine les pôles de F qui sont les racines de (X-1)^3. Il n’y a qu’un pôle multiple : 1.
  • On a \deg F=0, on détermine la partie entière de F : X^3+1 =1\times(X-1)^3+3X^2+3X+2. On en déduit qu’il existe (\alpha,\beta,\gamma)\in\C^3 tel que :

        \[F=1+\dfrac{\alpha}{X-1}+\dfrac{\beta}{(X-1)^2}+\dfrac{\gamma}{(X-1)^3}.\]

  • On détermine les coefficients des pôles multiples.
    – pour trouver \gamma, on multiplie la relation par (X-1)^3 :

        \[X^3+1=(X-1)^3+\alpha(X-1)^2+\beta(X-1)+\gamma.\]

    En évaluant en 1, on obtient \gamma=2.
    – pour trouver \beta, on calcule F-\dfrac{2}{(X-1)^3}=\dfrac{X^2+X+1}{(X-1)^2}, on a alors :

        \[\dfrac{X^2+X+1}{(X-1)^2}=1+\dfrac{\alpha}{X-1}+\dfrac{\beta}{(X-1)^2}.\]


    On multiplie la relation par (X-1)^2 :

        \[X^2+X+1=(X-1)^2+\alpha(X-1)+\beta.\]


    En évaluant en 1, on obtient \beta=3.
    – pour trouver \alpha, on calcule F-\dfrac{2}{(X-1)^3}-\dfrac{3}{(X-1)^2}=\dfrac{X+2}{X-1}, on a alors :

        \[\dfrac{X+2}{X-1}=1+\dfrac{\alpha}{X-1}.\]

    On multiplie la relation par (X-1) :

        \[X+2=(X-1)+\alpha.\]

    En évaluant en 1, on obtient \alpha=3.
    Finalement : F=1+\dfrac{3}{X-1}+\dfrac{3}{(X-1)^2}+\dfrac{2}{(X-1)^3}.
  • Exercice 2 :

    Si n = 1, le résultat est évident. Soit n \in \mathbb{N}^*, n\geq 2. Soit \alpha une racine complexe de multiplicité au moins 2. Alors P_n(\alpha) = 0 et P_n'(\alpha) = 0. Or, il est clair que P_n'= P_{n-1}, ainsi P_n = P_n' + \frac {X^n}{n!}. On en déduit donc que :

        \[ $P_n(\alpha) = $P_n'(\alpha) + \frac {\alpha^n}{n!}$, soit $\frac {\alpha^n}{n!} = 0$. \]

    Finalement, \alpha = 0, or il est clair que 0 n’est pas une racine de P_n.
    En conclusion, P_n n’admet pas de racine complexe de multiplicité au moins 2, donc P_n n’admet que des racines complexes simples.
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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