Les fractions rationnelles : méthode et définition

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Définitions sur les fractions rationnelles

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Définitions et généralités sur les fractions rationnelles

Définition : Fraction rationnelle

Une fraction rationnelle à coefficients dans $\mathbb{K}$

est un quotient de deux polynômes de $\mathbb{K}[X]$

. On note $\mathbb{K}(X)$

l’ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans $\mathbb{K}$

Proposition : Relation d’équivalence

On définit sur $\mathbb{K}(X)$

la relation binaire $\mathscr{R}$

par : pour tous $\frac {P_1}{Q_1}$

et $\frac {P_2}{Q_2}$

dans $\mathbb{K}(X)$

avec $P_1$

, $Q_1$

, $P_2$

, $Q_2$

quatre polynômes de $\mathbb{K}[X]$

avec $Q_1$

et $Q_2$

non nuls :
$\frac{P_1}{Q_1}$

$\mathscr{R}$

$\frac{P_2}{Q_2}$

$\Longleftrightarrow P_1Q_2 = P_2Q_1$

.
Alors, $\mathscr{R}$

est une relation d’équivalence sur $\mathbb{K}(X)$

Démonstration :

On vérifie facilement que $\mathscr{R}$

est réflexive, symétrique et transitive.

Définition : Égalité entre deux fractions rationnelles

Deux fractions rationnelles sont égales si, et seulement si, elles sont dans la même classe d’équivalence pour la relation d’équivalence $\mathscr{R}$

Exemple :

$\frac{1}{X-1}$

, $\frac{X}{X^2-X}$

, $\frac{X+1}{X^2-1}$

sont des fractions rationnelles égales. On dit que ce sont des représentants de la même fraction rationnelle.

Remarque :

L’ensemble des polynômes $\mathbb{K}[X]$

s’injecte naturellement dans $\mathbb{K}(X)$

en considérant l’application injective
$\varphi$

: $\mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R}(X)$

$P \mapsto \frac{P}{1}$

Définition :

Soit $F \in \mathbb{K}(X)$

et $P$

, $Q \in \mathbb{K}[X]$

. On dit que $\frac{P}{Q}$

est un représentant irréductible de $F$

si $F=\frac{P}{Q}$

et $P \wedge Q = 1$

Définition : Opérations

On définit la somme et le produit de deux fractions rationnelles par les formules suivantes :
$\frac{P_1}{Q_1} + \frac{P_2}{Q_2} = \frac{P_1Q_2 + P_2Q_1}{Q_1Q_2}$

$\frac{P_1}{Q_1} \times \frac{P_2}{Q_2} = \frac{P_1P_2}{Q_1Q_2}$

Remarque :

On vérifie facilement que le résultat de la somme ou du produit de deux fractions rationnelles ne dépend pas du choix du représentant dans la classe d’équivalence pour la relation d’équivalence $\mathscr{R}$

Théorème :

Pour l’addition et la multiplication définies ci-dessus, $(\mathbb{K}(X),+,\times)$

est un corps.

Démonstration :

On vérifie chaque point un par un.

Définition :

Soit $F = \frac{P}{Q}$

une fraction rationnelle de $\mathbb{K}(X)$

non nulle. On appelle degré de $F$

l’entier relatif noté $deg(F)$

défini par :

$$deg(F) = deg(P) - deg(Q)$.$

Par convention, on pose $deg0 = -\infty$

Remarque :

On montre facilement que la notion de degré d’une fraction rationnelle ne dépend pas du choix du représentant dans la classe d’équivalence pour la relation d’équivalence $\mathscr{R}$

Exemple :

$deg(\frac{X^3}{X-1}) = 3-1 = 2$

, $deg(\frac{X^3}{X^4-1})= 3-4 = -1$

Proposition :

Les propriétés sur degré des polynômes restent valables pour les fractions rationnelles :

$deg(F_1 + F_2) \leq max\{deg(F_1), deg(F_2)\}$

;

$deg(F_1F_2) = deg(F_1) + deg(F_2)$

Démonstration :

Se déduit directement des propriétés sur les degrés des polynômes.

Définition :

Soit $F = \frac{P}{Q}$

une fraction rationnelle irréductible de $\mathbb{K}(X)$

Les racines de $P$

sont appelées zéros de $F$

;

Les racines de $Q$

sont appelées pôles de $F$

Remarque :

Si $a$

est une racine de multiplicité $k$

de $P$

, on dit que $a$

est un zéro de multiplicité $k$

de $F$

. De la même façon, si $a$

est une racine de multiplicité $k$

de $Q$

, on dit que $a$

est un pôle de multiplicité $k$

de $F$

Définition :

Soit $F = \frac{P}{Q}$

une fraction rationnelle irréductible de $\mathbb{K}(X)$

, on note $\mathscr{P}$

l’ensemble des pôles de $F$

. On définit la fonction rationnelle associée à $F$

par :

$$ \~ F : $ \mathbb{K} $ $\backslash\mathscr{P} \rightarrow \mathbb{K} $.$

$$\~ x \mapsto \frac{\tilde{P}(x)}{\tilde{Q}(x)}$.$

On note $\mathbb{K}(x)$

l’ensemble des fonctions rationnelles à coefficients dans $\mathbb{K}$

Remarque :

Comme pour les polynômes, on ne fera pas de différence entre $\~ F$

et $F$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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Mayele Ayelbuzaba dit :

17 novembre 2024 à 14h23

J’ai aimé votre résumé

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1. La Rédac des Sherpas dit :
  
  22 novembre 2024 à 14h01
  
  Merci beaucoup ! 🫶
  
  Répondre