Fonction dérivée exercices corrigés

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 30/03/2022
fonction dérivée

Vous travaillez actuellement sur la fonction dérivée ? Grâce à cet article dédié à la fonction dérivée exercices corrigés, maîtriser toutes les notions de ce chapitre sera un jeu d’enfant pour vous grâce à des méthodologies efficaces !

Exercice 1 : Fonction dérivée

⏰ Durée : 10 min

💪 Difficulté : niveau 1/3

Soit f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R} la fonction définie par \displaystyle f(x) = x^2 \left\lfloor\dfrac{1}{x}\right\rfloor.
1. Prolonger f par continuité en 0. On note encore f le prolongement obtenu.
2. Étudier la dérivabilité de f en 0.

Corrigé de l’exercice

1. Par définition de la partie entière, pour tout x\neq 0, on a : x-x^2 < f(x) \leq  x. Donc, par théorème d’encadrement, f(x)\xrightarrow[x\to0]{}0\in\mathbb{R}.
Donc, f est prolongeable par continuité en 0 et on pose f(0)=0.
2. Pour tout x\neq 0, on a \displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0}= x \left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor.
Si x<0, on a comme dans la question 1, 1-x < f(x) \leq  1.
Donc, par théorème d’encadrement, \displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \xrightarrow[x\to 0^-]{}1.
Si x>0, de même, on a 1-x > f(x) \geq  1, puis, par théorème d’encadrement, \displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \xrightarrow[x\to 0^+]{}1.
Donc, \displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \xrightarrow[x\to 0]{}1\in\mathbb{R}. On en déduit que f est dérivable en 0 et f'(0)=1.

Exercice 2 : Fonction dérivée

Exercice 2 :

⏰ Durée : 45 min

💪 Difficulté : niveau 1/3

Justifier que les fonctions suivantes sont de classe \mathcal{C}^{\infty} sur un (ou des) intervalle(s) à préciser puis calculer leurs dérivées d’ordre n, pour tout n\in\mathbb{N} :
1. f:x\mapsto \dfrac{1}{1-x^2};
2. g:x\mapsto \cos(x)e^x;
3. h:x\mapsto \big(\sin(x)\big)^3;

Corrigé de l’exercice

1. La fonction f est rationnelle donc de classe \mathcal{C}^{\infty} sur ]-\infty,-1[, ]-1,1[ et ]1,+\infty[. Dans la suite, I désigne un de ces intervalles.\\ On décompose en éléments simples f : pour tout x\in I,

    \[f(x)=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right).\]

On note \displaystyle f_1(x)=\frac{1}{1-x} et \displaystyle f_2(x)=\frac{1}{1+x}. Les fonctions f_1 et f_2 sont de classe \mathcal{C}^\infty comme fonctions rationnelles dont le dénominateur ne s’annule pas sur I.
On montre ensuite par récurrence, que pour tout n\in\N et , pour tout x\in I, \displaystyle f_1^{(n)}(x)= \frac{n!}{(1-x)^{n+1}} et \displaystyle f_2^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}.
Donc, pour tout x\in I,

    \[f^{(n)}= \frac{1}{2} \left(\frac{n!}{(1-x)^{n+1}} +\frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}\right)= \frac{n!}{2} \times \frac{(1+x)^{n+1}+(-1)^n\times (1-x)^{n+1}}{(1-x^2)^{n+1}}.\]


2. La fonction g est de classe \mathcal{C}^{\infty} sur \mathbb{R} comme produit de fonctions de classe \mathcal{C}^{\infty}.
On remarque que, pour tout x\in \mathbb{R}, g(x)= \Re(\varphi(x))\varphi(x)= e^{(1+\i) x}.
On sait que la fonction \varphi est de classe \mathcal{C}^{\infty} sur \mathbb{R} et, pour tout n\in\mathbb{N},

    \[\forall x \in \mathbb{R},\,\,g^{(n)}(x)= \Re\big(\varphi^{(n)}(x)\big).\]

De plus, pour tout n\in\mathbb{N},

    \[\forall x \in \mathbb{R},\,\varphi^{(n)}(x)=(1+\i)^n e^{(1+\i) x} .\]

Or, \displaystyle (1+\i)^n=\sqrt{2}^n\left(e^{\i\frac{\pi}{4}}\right)^n=\sqrt{2}^ne^{\i\,\frac{n\pi}{4}}. Donc,

    \[\forall n \in \mathbb{N},\quad \forall x \in \mathbb{R},\, \varphi^{(n)}(x)= \sqrt{2}^n e^{\i\left(\frac{n\pi}{4}+x\right)}e^x   \quad\text{ et } \quad g^{(n)}(x)=\sqrt{2}^n   \cos\left(\frac{n\pi}{4}+x\right)e^{x}.\]


3. Ici, on linéarise (formule d’Euler) :

    \[\forall x\in \mathbb{R}, \quad \sin(x)^3= -\frac{\sin(3 x)}{4} + \frac{3\sin(x)}{4} .\]

Pour tout x\in\mathbb{R}, on pose h_1(x)= \sin(x), et h_2(x)=\sin(3 x). On a alors, pour tout x\in\mathbb{R}, h_2(x)=h_1(3 x).
On sait que h_2 est de classe \mathcal{C}^{\infty} sur \mathbb{R}, donc h_1 aussi (composée de fonctions de classe \mathcal{C}^\infty) et, pour tout n\in\mathbb{N}, pour tout x\in\mathbb{R}, h_2^{(n)}(x)=3^n h_1^{(n)}(3x).
De plus, pour tout x\in \mathbb{R}, on a h_1(x)=\Im(e^{\i x}), donc, pour tous n\in\mathbb{N} et x\in\mathbb{R} :

    \[h_1^{(n)}(x)= \Im\big(i^ne^{\i x}\big)= \Im\big(e^{\i\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)}\big)=\sin\left(x+ \frac{n\pi}{2}\right).\]

Ainsi,

    \[\forall n\in\mathbb{N},\forall x\in\mathbb{R}, \quad h^{(n)}(x)=- \frac{ 3^n\sin\left(3 x+ \frac{n\pi}{2}\right)}{4}  + \frac{3 \sin\left(x+ \frac{n\pi}{2}\right)}{4} .\]

livre maths mpsi vuibert

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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