Exercices sur les fractions rationnelles

William Mievre - Mis à jour le 28/04/2022

exercices sur les fractions rationnelles

Sommaire

Exercices sur les fractions rationnelles
Corrigés des exercices des fractions rationnelles

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Exercices d’application sur les fractions rationnelles

Exercice 1 :

⏰ Durée : 10 min

💪 Difficulté : niveau 1/3

Trouver la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle suivante :

1. $\dfrac{X^2+2X+5}{X^2-3X+2}$

;

2. $\dfrac{X^3+1}{(X-1)^3}$

.

Exercice 2 :

⏰ Durée : 10 min

💪 Difficulté : niveau 2/3

Soient $n \in \mathbb{N}^*$

et $P_n = 1 + X + \frac {X^2}{2!} + ... + \frac {X^n}{n!}$

. Montrer que $P_n$

n’admet que des racines complexes simples.

Corrigés des exercices d’application sur les fractions rationnelles

Exercice 1 :

1. On note $F = \frac{X^2+2X+5}{X^2 - 3X + 2}$

.

On détermine les pôles de $F$

qui sont les racines de $X^2 - 3X + 2$

soit : 1 et 2. Ainsi :

$$X^2 - 3X + 2 = (X-1)(X-2)$.$

On a $deg(F) = 0$

, on détermine la partie entière de $F : X^2+2X+5 = 1 \times (X^2 - 3X + 2) + 5X + 3$

. On en déduit qu’il existe $(\alpha,\beta) \in \mathbb{C}^2$

tel que :

$$F = $\frac{\alpha}{X-1} $ + $\frac{\beta}{X-2} + 1$.$

On détermine les coefficients des pôles simples.
– Pour le pôle 1, on multiplie la relation par $X-1$

:

$\frac{(X^2 + 2X + 5)(X-1)}{(X-1)(X-2)} = (X-1)(1+ \frac{\beta}{X-2}) + \alpha.$

En évaluant en 1, on obtient $\alpha = -8$

.
– Pour le pôle 2, on multiplie la relation par $X-2$

:

$\frac{(X^2 + 2X + 5)(X-2)}{(X-1)(X-2)} = (X-2)(1+ \frac{\alpha}{X-1}) + \beta.$

En évaluant en 2, on obtient $\beta = 13$

.
Finalement : $F = 1 - \frac{8}{X-1} + \frac{13}{X-2}$

.

2. On pose $F=\dfrac{X^3+1}{(X-1)^3}$

.

On détermine les pôles de $F$

qui sont les racines de $(X-1)^3$

. Il n’y a qu’un pôle multiple : $1$

.

On a $\deg F=0$

, on détermine la partie entière de $F$

: $X^3+1 =1\times(X-1)^3+3X^2+3X+2$

. On en déduit qu’il existe $(\alpha,\beta,\gamma)\in\C^3$

tel que :

$F=1+\dfrac{\alpha}{X-1}+\dfrac{\beta}{(X-1)^2}+\dfrac{\gamma}{(X-1)^3}.$

On détermine les coefficients des pôles multiples.
– pour trouver $\gamma$

, on multiplie la relation par $(X-1)^3$

:

$X^3+1=(X-1)^3+\alpha(X-1)^2+\beta(X-1)+\gamma.$

En évaluant en $1$

, on obtient $\gamma=2$

.
– pour trouver $\beta$

, on calcule $F-\dfrac{2}{(X-1)^3}=\dfrac{X^2+X+1}{(X-1)^2}$

, on a alors :

$\dfrac{X^2+X+1}{(X-1)^2}=1+\dfrac{\alpha}{X-1}+\dfrac{\beta}{(X-1)^2}.$

On multiplie la relation par $(X-1)^2$

:

$X^2+X+1=(X-1)^2+\alpha(X-1)+\beta.$

En évaluant en $1$

, on obtient $\beta=3$

.
– pour trouver $\alpha$

, on calcule $F-\dfrac{2}{(X-1)^3}-\dfrac{3}{(X-1)^2}=\dfrac{X+2}{X-1}$

, on a alors :

$\dfrac{X+2}{X-1}=1+\dfrac{\alpha}{X-1}.$

On multiplie la relation par $(X-1)$

:

$X+2=(X-1)+\alpha.$

En évaluant en $1$

, on obtient $\alpha=3$

.
Finalement : $F=1+\dfrac{3}{X-1}+\dfrac{3}{(X-1)^2}+\dfrac{2}{(X-1)^3}$

.

Exercice 2 :

Si $n = 1$

, le résultat est évident. Soit $n \in \mathbb{N}^*$

, $n\geq 2$

. Soit $\alpha$

une racine complexe de multiplicité au moins 2. Alors $P_n(\alpha) = 0$

et $P_n'(\alpha) = 0$

. Or, il est clair que $P_n'= P_{n-1}$

, ainsi $P_n = P_n' + \frac {X^n}{n!}$

. On en déduit donc que :

$$P_n(\alpha) = $P_n'(\alpha) + \frac {\alpha^n}{n!}$, soit $\frac {\alpha^n}{n!} = 0$.$

Finalement, $\alpha = 0$

, or il est clair que $0$

n’est pas une racine de $P_n$

.
En conclusion, $P_n$

n’admet pas de racine complexe de multiplicité au moins 2, donc $P_n$

n’admet que des racines complexes simples.

livre maths mpsi vuibert

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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William Mievre

Co-fondateur des Sherpas

Passé par une Prépa HEC puis l'ESCP, j'ai donné des centaines d'heures de cours particuliers avant de créer Les Sherpas avec Étienne. Passionné d'éducation, je te partage désormais mes meilleurs conseils afin de t'aider à réussir et t'épanouir dans tes études. Cheers ✌️💖 !

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