Fiche de cours : l’espace vectoriel de dimension finie

William Mievre - Mis à jour le 02/06/2022

Qu’est-ce qu’un espace vectoriel de dimension finie ? Comment montrer qu’un espace vectoriel est de dimension finie ? Autant de questions auxquelles nous allons répondre dans ce cours de mathématiques sur l’espace vectoriel de dimension finie.

Si tu rencontres des difficultés avec la dimension des espaces vectoriels, sache qu’un cours particulier de maths peut t’aider à tout remettre en ordre. 🔢

👉 Théorème :

Soit $E$

un $\mathbb{K}$

-espace vectoriel de dimension finie non réduit au vecteur nul. Toutes les bases de $E$

ont le même nombre d’éléments.

Démonstration :

Soient $(e_1,...,e_n)$

et $(f_1,..., f_p)$

deux bases de $E$

La famille $(f_1,..., f_p)$

est génératrice de $E$

, donc, la famille libre $(e_1,...,e_n)$

possède au plus $p$

vecteurs. Donc $n \leq p$

De même, la famille $(e_1,...,e_n)$

est génératrice de $E$

et la famille $(f_1,..., f_p)$

est libre, donc $p \leq n$

Ainsi, $n=p$

et les deux bases considérées ont le même nombre d’éléments.

📍Définition : Dimension

Soit $E$

un $\mathbb{K}$

-espace vectoriel de dimension finie non réduit au vecteur nul. On appelle dimension de $E$

, et on note $dim_\mathbb{K}(E)$

ou $dim(E)$

, le nombre de vecteurs d’une de ses bases.

Par convention, lorsque $E = \{0_E\}$

, on pose $dim_\mathbb{K}(E) = dim(E) = 0$

💡 Conseils méthodologiques

Pour montrer qu’un espace vectoriel E est de dimension finie et déterminer sa dimension, on détermine une base de E. Par conséquent, E est de dimension finie (en effet, il existe une famille génératrice finie de E) et dim(E) est égale au nombre de vecteurs de la base trouvée.

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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William Mievre

Co-fondateur des Sherpas

Passé par une Prépa HEC puis l'ESCP, j'ai donné des centaines d'heures de cours particuliers avant de créer Les Sherpas avec Étienne. Passionné d'éducation, je te partage désormais mes meilleurs conseils afin de t'aider à réussir et t'épanouir dans tes études. Cheers ✌️💖 !

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