Méthode : résoudre une équation diophantienne

Sommaire

Conseils pour résoudre une équation diophantienne
Application de la méthode

Dans cet article, nous te présentons la méthode pour résoudre une équation diophantienne rapidement et simplement. Autrement dit, voilà la clé pour briller lors de ta prochaine interro de mathématiques !

Si tu rencontres encore des difficultés avec ces équations complexes, ne te laisse pas décourager : des cours de soutien scolaire en algèbre peuvent te guider et te permettre de les maîtriser rapidement. 🛣️

Conseils méthodologiques pour résoudre une équation diophantienne

On souhaite résoudre l’équation $(E)ax+by = c$

d’inconnues $x\in\mathbb{Z}$

et $y\in\mathbb{Z}$

, où $a$

, $b$

et $c$

des entiers relatifs donnés.

On commence par calculer $a \wedge b$

. Si $c$

n’est pas divisible par $a \wedge b$

, alors l’équation n’admet pas de solution.

On pose $a' = \frac{a}{a \wedge {b'}} , b' = \frac{b}{a \wedge {b}}$

et $c' = \frac{c}{a \wedge {b}}$

. On divise tous les membres de l’équation ( $E$

) par $a \wedge b$

. On est alors amenés à résoudre

$$(E')a'x+b'y = c'$.$

On trouve une solution particulière de l’équation $(E')$

en déterminant la relation de Bézout entre $a'$

et $b'$

. On obtient $(u,v)\in\mathbb{Z}^2$

tel que $a'u + b'v = 1$

. On multiplie cette relation par $c'$

pour obtenir la solution particulière $(c'u, c'v)$

de $(E')$

$$(E'')c'u + c'v = c'$.$

On remarque alors, en soustrayant terme à terme les relations $(E')$

et $(E'')$

, que le couple $(x-c'u, y-c'v)$

vérifie :

$$a'(x-c'u)+b'(y-c'v) = 0 $ soit $ a'(x-c'u) = -b'(y-c'v)$.$

En utilisant le théorème de Gauss, comme $a' \wedge {b'} = 1$

, on en déduit que $b'$

divise $x-c'u$

, soit :

$$\exists k \in\mathbb{Z}$, $x = c'u + b'k$.$

On trouve $y$

en fonction de $k$

en substituant dans la relation précédente.

Application de la méthode

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$

l’équation $60y - 32y = 12$

En appliquant l’algorithme d’Euclide, on peut montrer que $60 \wedge 32 = 4$

. 12 est divisible par 4 donc, donc l’équation admet des solutions.

On divise l’équation par 4. On va donc résoudre $15x-8y = 3$

où $15 \wedge 8 = 1$

On cherche une solution particulière de $15x - 8y = 3$

. Comme $15 \wedge 8 =1$

, il existe $(u,v)\in\mathbb{Z}^2$

tel que $15u + 8v = 1$

. On va déterminer les coefficients de Bézout $u$

et $v$

$15 = 8 \times 1 + 7 $ ainsi $ 7 = 15-8$

$8 = 7 \times 1 + 1 $ ainsi $ 1 = 8-7 = 2 \times 8 - 15$

Finalement, on a :

$$15 \times (-1) + 2 \times 8 = 1 \Longleftrightarrow 15 \times (-3) - (-6) \times 8 = 3$ (en multipliant la relation par 3).$

Une solution particulière de l’équation modifiée est $(-3,-6)$

On a :

$$15x - 8y = 3 \Longleftrightarrow 15(x+3) + 8(y+6) = 0 \Longleftrightarrow 15(x+3)= -8(y+6)$.$

Donc 15 divise le produit $-8(y+6)$

, mais $15 \wedge 8 = 1$

, d’après le théorème de Gauss, 15 divise $y+6$

. On en déduit qu’il existe $k \in\mathbb{Z}$

tel que $y+6 = 15k \Longleftrightarrow y=15k-6$

. De plus :

$$15 (x+3) = -8(y+6) \Longleftrightarrow x+3 = -8k \Longleftrightarrow x = -8k-3$.$

Finalement, les solutions de l’équation sont les couples $(-8k-3, 15k-6)$

avec $k \in\mathbb{Z}$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720