Vous souhaitez connaître les variations d’une fonction ? Rassurez-vous, vous êtes au bon endroit ! Grâce à ce cours, vous saurez aisément comment dresser un tableau de variations d’une fonction grâce à une méthode adaptée et à des conseils méthodologiques de pointe !
Méthode : Dresser le tableau de variations d’une fonction
Conseils méthodologiques : tableau de variations d’une fonction
Soit
une fonction définie sur un intervalle 
de 
.
. 
que l’on factorise si possible. sur . de . Connaître le tableau de variation d’une fonction est utile pour deux situations particulières que nous
détaillons dans les deux exemples.
Application de la méthode : déterminer des extremums.
Déterminer le maximum de la fonction
.La fonction
est définie et dérivable sur 
(comme quotient de fonctions dérivables sur , le dénominateur ne s’y annulant pas). De plus :
![\[\forall x\in\mathbb{R}_+^*,\;f'(x)=\dfrac{x\times 1/x-\ln(x)}{x^2}=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}.\]](https://adymrxvmro.cloudimg.io/v7/https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-ed01d8e6af69e195f0164101aea51546_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
est du même signe que 
. On étudie le signe de cette expression : 
Notons que (le calcul de ces limites sera présenté ultérieurement):
![\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty, \;\lim_{x\to +\infty}f(x)=0,\;f(\e)=\e^{-1}.\]](https://adymrxvmro.cloudimg.io/v7/https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-fff1d7c319bda6da8d09ded91ff26b5f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
:
admet 
pour maximum atteint pour 
.
Application de la méthode : déterminer des inégalités.
Montrons que pour tout
, 
.On considère la fonction
, définie et dérivable sur (comme différence de fonctions dérivables sur ). De plus :
![\[\forall x\in\mathbb{R},\;g'(x)=1-\cos(x).\]](https://adymrxvmro.cloudimg.io/v7/https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-403595c242fe4e3b5a84c5ac04301310_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[-1,1]](https://adymrxvmro.cloudimg.io/v7/https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-b91f34c6ba4ee80f73013b8f66c5760a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, donc 
est toujours positif.La fonction
est croissante sur et 
. on en déduit que :
![\[\forall x\in\mathbb{R}_+,\;g(x)\ge g(0)\Longleftrightarrow x-\sin(x)\ge 0\Longleftrightarrow \sin(x)\le x.\]](https://adymrxvmro.cloudimg.io/v7/https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-db3622247fc6b5ea18d5a946be7cdfda_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720
