En arithmétique, la division euclidienne (aussi appelée division entière) est un calcul mathématique qui consiste à diviser deux nombres entiers (non nuls). Ces nombres sont appelés “dividende” (a) et “diviseur” (b). L’enjeux de l’opération est de trouver le “quotient” (q) et le “reste” (r).
Soient deux entiers relatifs a et b. On suppose que b ∈ N*. On note q et r, le quotient et le reste de la division de a par b.
Soient
et 
. Alors :
![\[\exists ! (q,r)\in\mathbb{Z}\times \mathbb{N} \text{ tel que } a=qb+r \text{ et }0\le r<b.\]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-0c547d0f79532a64165b3919d935fd00_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
est appelé quotient et 
reste de la division euclidienne de 
par 
.
💡À savoir
En latin, le mot “dividende” (dividendus) désigne “celui qui doit être divisé”. Le mot “quotient” (quotiens) signifie “combien de fois”.
La division euclidienne te pose problème ? Notre professeur particulier d’algèbre t’explique comment maîtriser cette opération fondamentale. ✂️
Démonstration de la division euclidienne
Existence
Soit
. 
est une partie non vide de 
(si 
, contient , sinon, contient 
). On en déduit que cet ensemble contient un plus petit élément que l’on note . Ainsi, pour un certain 
, on a 
, soit 
.
On suppose que 
. Dans ce cas, 
et 
, donc 
et 
est strictement plus petit que ce qui contredit la définition de . On en déduit que 
.
Unicité
Soient
et 
deux couples provenant de la division euclidienne de par .
On a donc : ![\[a=bq+r,\;0\le r<b\;\;\;\text{et}\;\;\;a=bq'+r',\;0\le r'<b .\]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-7a957ef0541ae4e06cac9ed44ecb392e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
De plus, 
ce qui implique que 
. Or 
est un entier relatif, donc forcément 
ce qui implique immédiatement que 
et 
.
Remarque sur la démonstration de la division euclidienne
En Python, la commande
permet d’obtenir le quotient de la division euclidienne de par et la commande 
en donne le reste.
Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720
