Qu’est-ce que la division euclidienne ?

Mélodie - Mis à jour le 13/06/2022
la division euclidienne

En arithmétique, la division euclidienne (aussi appelée division entière) est un calcul mathématique qui consiste à diviser deux nombres entiers (non nuls). Ces nombres sont appelés “dividende” (a) et “diviseur” (b). L’enjeux de l’opération est de trouver le “quotient” (q) et le “reste” (r).

Soient deux entiers relatifs a et b. On suppose que b ∈ N*. On note q et r, le quotient et le reste de la division de a par b.

Soient a\in\mathbb{Z} et b\in\mathbb{N}^*. Alors :

    \[\exists ! (q,r)\in\mathbb{Z}\times \mathbb{N} \text{ tel que } a=qb+r \text{ et }0\le r<b.\]

q est appelé quotient et r reste de la division euclidienne de a par b.

💡À savoir

En latin, le mot “dividende” (dividendus) désigne “celui qui doit être divisé”. Le mot “quotient” (quotiens) signifie “combien de fois”.

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Démonstration de la division euclidienne

Existence

Soit \mathcal{D}=\big\{a+kb,\,k\in\mathbb{Z},\,\text{tel que }a+kb\in\mathbb{N}\big\}. \mathcal{D} est une partie non vide de \mathbb{N} (si a\ge 0, \mathcal{D} contient a, sinon, \mathcal{D} contient a-ab). On en déduit que cet ensemble contient un plus petit élément que l’on note r. Ainsi, pour un certain q\in\mathbb{Z}, on a a-bq=r, soit a=bq+r. On suppose que r\ge b. Dans ce cas, r-b\ge 0 et r-b=a-bq-b=a-b(q+1), donc r-b\in\mathcal{D} et r-b est strictement plus petit que r ce qui contredit la définition de r. On en déduit que r<b.

Unicité

Soient (q,r) et (q',r') deux couples provenant de la division euclidienne de a par b. On a donc :

    \[a=bq+r,\;0\le r<b\;\;\;\text{et}\;\;\;a=bq'+r',\;0\le r'<b .\]

Alors, en soustrayant ces deux relations, on obtient : b(q-q')=r'-r. De plus, -b<r'-r<b ce qui implique que -1<q-q'<1. Or q-q' est un entier relatif, donc forcément q-q'=0 ce qui implique immédiatement que q=q' et r=r'.

Remarque sur la démonstration de la division euclidienne

En Python, la commande \mathtt{a//b} permet d’obtenir le quotient de la division euclidienne de a par b et la commande \mathtt{a\% b} en donne le reste.
livre maths mpsi vuibert

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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