Vous étudiez actuellement la convergence d’une série ? Grâce à ce cours dédié à la notion Comment montrer la convergence d’une série ?, grâce à une méthodologie bien rodée, réussi avec brio tes prochains exercices et contrôles sur cette notion !
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Méthode 1 : Montrer la convergence d’une série et calculer sa somme
Montrons la convergence et calculons la somme de la série
. 
, on en déduit que
![\[\mathrm{arctan} \left( \frac{1}{n^2+ n +1} \right) \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{n^2+n+1} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{n^2}.\]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-9591e0d0b1df6257c91f9fdda2c72341_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
converge. 
, 
. En effet, 
et 
. Comme 
et 
sont des \’el\’ements de ![\left]- \dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} \right[](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-9c1081476b9047af13b8703c8b723d6e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, on en déduit que
![\[\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \mathrm{arctan} \left( \dfrac{1}{n^2+ n +1} \right) = \mathrm{arctan} \left( n +1 \right) - \mathrm{arctan} \left( n \right).\]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-b9f472d588fa78a836f9129d0df2c6e9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Par télescopage, on a 
. Comme 
, on en déduit que 
. 
Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720
