Montrer la convergence d'une série

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Convergence d'une série et calcule de somme

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Méthode 1 : Montrer la convergence d’une série et calculer sa somme

Montrons la convergence et calculons la somme de la série $\displaystyle{\sum_{n \ge 1} \mathrm{arctan} \left( \frac{1}{n^2+ n +1} \right)}$

En utilisant $\mathrm{arctan} \left( x\right)\underset{x \to 0}{\sim} x$

, on en déduit que

$\mathrm{arctan} \left( \frac{1}{n^2+ n +1} \right) \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{n^2+n+1} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{n^2}.$

Par équivalence avec une série de Riemann convergente, on en déduit que la série $\displaystyle{\sum_{n \ge 1} \mathrm{arctan} \left( \frac{1}{n^2+ n +1} \right)}$

converge.

On remarque que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$

, $\mathrm{arctan} \left( \dfrac{1}{n^2+ n +1} \right) = \mathrm{arctan} \left( n +1 \right) - \mathrm{arctan} \left( n \right)$

. En effet, $\tan \left( \mathrm{arctan} \left( \dfrac{1}{n^2+ n +1} \right) \right) = \dfrac{1}{n^2+n+1}$

et $\tan \left( \mathrm{arctan} \left( n +1 \right) - \mathrm{arctan} \left( n \right) \right) = \dfrac{1}{n^2+n +1}$

. Comme $\mathrm{arctan} \left( \dfrac{1}{n^2+ n +1} \right)$

et $\mathrm{arctan} \left( n +1 \right) - \mathrm{arctan} \left( n \right)$

sont des \’el\’ements de $\left]- \dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} \right[$

, on en déduit que

$\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \mathrm{arctan} \left( \dfrac{1}{n^2+ n +1} \right) = \mathrm{arctan} \left( n +1 \right) - \mathrm{arctan} \left( n \right).$

Soit $N \in \mathbb{N}^*$

. Par télescopage, on a $\displaystyle{\sum_{n = 1}^N \mathrm{arctan} \left( \frac{1}{n^2+ n +1} \right) = \mathrm{arctan} \left( N +1 \right) - \mathrm{arctan} \left( 1 \right)}$

. Comme $\lim\limits_{N \to + \infty} \left( \mathrm{arctan} \left( N +1 \right) - \mathrm{arctan} \left( 1 \right) \right) = \dfrac{\pi}{4}$

, on en déduit que $\displaystyle{\sum_{n = 1}^{+ \infty} \mathrm{arctan} \left( \frac{1}{n^2+ n +1} \right) = \frac{\pi}{4}}$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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William Mievre

Co-fondateur des Sherpas

Passé par une Prépa HEC puis l'ESCP, j'ai donné des centaines d'heures de cours particuliers avant de créer Les Sherpas avec Étienne. Passionné d'éducation, je te partage désormais mes meilleurs conseils afin de t'aider à réussir et t'épanouir dans tes études. Cheers ✌️💖 !

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