Comment calculer le déterminant d'une matrice ?

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Calcul des déterminants

Opérations sur les déterminants

Proposition

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

Multiplier une colonne de $A$

par un scalaire $\lambda$

multiplie le déterminant de $A$

par $\lambda$

Ajouter à une colonne de $A$

un multiple d’une des autres colonnes de $A$

ne change pas le déterminant.

Échanger deux colonnes de $A$

change le déterminant en son opposé.

Démonstration : Déterminant d’une matrice

On note $C_1,\dots,C_n$

les colonnes de $A$

et $\mathcal{B}$

la base canonique de $\mathbb{K}^n$

. Soient $i\in [\![ 1,n ]\!]$

et $\lambda\in\mathbb{K}$

Par linéarité par rapport à la $i$

-ème variable,

$\mathrm{det}_{\mathcal{B}}(C_1,\dots,C_{i-1},\lambda C_i,C_{i+1},\dots,C_n)=\mathrm{det}_{\mathcal{B}}(C_1,\dots,C_{i-1},C_i,C_{i+1},\dots,C_n)=\lambda\mathrm{det}(A).$

Soit $j\neq i$

. Par linéarité par rapport à la $i$

-ème variable,

$\mathrm{det}_{\mathcal{B}}(C_1,\dots,C_{i-1},C_i+\lambda C_j,C_{i+1},\dots,C_n) = \mathrm{det}(A)+\lambda\mathrm{det}_{\mathcal{B}}(C_1,\dots,C_{i-1},C_j,C_{i+1},\dots,C_n)$

De plus, $\mathrm{det}_{\mathcal{B}}(C_1,\dots,C_{i-1},C_j,C_{i+1},\dots,C_n)=0$

car les variables $i$

et $j$

sont égales. Donc,

$\mathrm{det}_{\mathcal{B}}(C_1,\dots,C_{i-1},C_i+\lambda C_j,C_{i+1},\dots,C_n) = \mathrm{det}(A).$

Conséquence du caractère alterné de $\mathrm{det}$

Le déterminant est invariant par transposition. On a alors le résultat suivant.

Proposition

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

Multiplier une ligne de $A$

par un scalaire $\lambda$

multiplie le déterminant de $A$

par $\lambda$

Ajouter à une ligne de $A$

un multiple d’une des autres lignes de $A$

ne change pas le déterminant.

Échanger deux lignes de $A$

change le déterminant en son opposé.

Par récurrence, on montre alors le résultat suivant.

Corollaire

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

On ne change pas la valeur de $\mathrm{det}(A)$

en ajoutant à une colonne de $A$

une combinaison linéaire des autres colonnes de $A$

On ne change pas la valeur de $\mathrm{det}(A)$

en ajoutant à une ligne de $A$

une combinaison linéaire des autres lignes de $A$

Définition : Cofacteur

Soient $A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

et $(i,j)\in [\![ 1,n ]\!]^2$

.
Le cofacteur $(i,j)$

de $A$

est le scalaire $\Delta_{i,j}=(-1)^{i+j}\mathrm{det}(B_{i,j})$

où $B_{i,j}$

est la matrice obtenue en supprimant la ligne $i$

et la colonne $j$

de $A$

Théorème

Soit $A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

Soit $j\in [\![ 1,n ]\!]$

. On a $\mathrm{det}(A)=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^na_{i,j}\Delta_{i,j}$

. On dit qu’on a développé le déterminant par rapport à la $j$

-ème colonne.

Soit $i\in [\![ 1,n ]\!]$

. On a $\mathrm{det}(A)=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^na_{i,j}\Delta_{i,j}$

. On dit qu’on a développé le déterminant par rapport à la $i$

-ème ligne.

Théorème

Soit $A=(a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

.
Si $A$

est triangulaire, alors $\mathrm{det}(A)=a_{1,1}\times \dots \times a_{n,n}$

.
Autrement dit, le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.

Démonstration

On donne la démonstration dans le cas des matrices triangulaires supérieures.
On raisonne par récurrence sur $n$

. Pour tout $n\in\mathbb{N}^\star$

, on note $\mathcal{P}_n$

: « Si $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

est triangulaire, alors $\mathrm{det}(A)$

est le produit des coefficients diagonaux de $A$

».
Initialisation : immédiat.
Hérédité : soit $n\in\mathbb{N}^*$

. On suppose $\mathcal{P}_n$

et on montre $\mathcal{P}_{n+1}$

.
Soit $A=(a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n+1} \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{K})$

une matrice triangulaire supérieure. En développant par rapport à la première colonne, on a :

$\mathrm{det}(A)=a_{1,1}\times \begin{vmatrix} a_{2,2} & \cdots & a_{2,n+1}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{n+1,2} & \cdots & a_{n+1,n+1} \end{vmatrix}_{(n)}.$

De plus, la matrice $(a_{i,j})_{2 \leq i,j \leq n+1} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

est triangulaire supérieure. Donc, par hypothèse de récurrence,

$\mathrm{det}(A)=a_{1,1}\times a_{2,2}\times\dots\times a_{n+1,n+1}.$

Ce qui achève la récurrence. Si $A$

est triangulaire inférieure, alors ${}^t\!A$

est triangulaire supérieure et a les mêmes coefficients diagonaux que $A$

. D’où, $\mathrm{det}(A)=\mathrm{det}({}^t\!A)=a_{1,1}\times\dots \times a_{n,n}$

Remarque

En particulier, le déterminant d’une matrice diagonale est le produit de ses coefficients diagonaux.

On retrouve l’équivalence suivante : une matrice triangulaire est inversible si, et seulement si, ses coefficients diagonaux sont non nuls.

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720