Avez-vous des difficultés à calculer le rang d’une matrice ? Si c’est le cas, cet article est fait pour vous ! Nous allons vous guider à travers la méthode de calcul du rang d’une matrice, une compétence clé en algèbre.
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Méthode : Calculer le rang d’une matrice
Conseils méthodologiques
Pour déterminer le rang d’une matrice
non nulle, on utilise des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes de pour montrer que est équivalente à une matrice de la forme :
![\[B=\begin{pmatrix} a_1 & * & \dots & \dots & \dots & \dots & * \\ 0 & a_2 & \ddots & & & & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & a_r & * & \dots & * \\ 0 & \dots & \dots & 0 & 0 & \dots & 0\\ \vdots & & & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & \dots & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}\]](https://adymrxvmro.cloudimg.io/v7/https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-6cd10dab033a5bd1e581733fa175f47c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
coefficients diagonaux 
, 
, 
sont non nuls. On conclut alors que le rang de est alors égal à . En effet, à l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes et colonnes, on peut passer de
à la matrice 
qui est de rang . Donc, 
.
Application de la méthode
Déterminons le rang de
.
On a :
![\[\begin{array}{rcll} \mathrm{rg}\begin{pmatrix} \boxed{-1} & -1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & -2 & -1\end{pmatrix} & = & \mathrm{rg}\begin{pmatrix} \boxed{-1} & -1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 4 & 2\\ 0 & 0 & -2 & -1\end{pmatrix} & L_2\leftarrow L_2+L_1 \\ & = & \mathrm{rg}\begin{pmatrix} \boxed{-1} & 2 & -1 & 1\\ 0 & \boxed{4} & 0 & 2\\ 0 & -2 & 0 & -1\end{pmatrix} & C_2\leftrightarrow C_3 \\ & = & \mathrm{rg}\begin{pmatrix} \boxed{-1} & 2 & -1 & 1\\ 0 & \boxed{4} & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} & L_3\leftarrow L_3+\frac{1}{2}L_2 \\ & = & 2. \end{array}\]](https://adymrxvmro.cloudimg.io/v7/https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-78a39d78b9e4ae7592771547bcd996d9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720
