Vous étudiez actuellement les notions liées à l’argument des nombres complexes ? Grâce à ce cours dédié, maîtrisez avec aisance toutes les subtilités de ce chapitre, grâce à des méthodologies complètes et adaptées.
En complément, nos cours en ligne de maths te permettront d’intégrer les subtilités de la forme trigonométrique. 💼
Argument d’un nombre complexe
Définition
Soit un nombre complexe non nul. L’ensemble des arguments de est l’ensemble des antécédents de par l’application exponentielle complexe définie dans la partie précédente.Un argument de sera noté .
Remarque
Si est un argument de , l’ensemble des arguments de est donné par . On dit que les arguments de sont tous égaux modulo , on note . En général, on choisira un argument contenu dans ou dans .Exemples
Proposition
Soit un nombre complexe non nul et un de ses arguments. Alors :Cette expression est appelée forme trigonométrique de .
Remarque
On rencontre souvent la notation pour l’argument de et pour son module. La forme trigonométrique de s’écrit alors .Proposition
Soient deux complexes et avec tels que : et . Alors :Démonstration
Ces résultats se déduisent directement des propriétés de l’exponentielle complexe.
Corollaire
Soient et deux nombres complexes non nuls, alors :Démonstration
Pas de difficulté si on utilise la forme trigonométrique. Le dernier point se montre par récurrence.
Exemple
Soit .On peut vérifier que et (voir point méthodologique). Alors :
De plus On en déduit donc que :
Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720