Comment déterminer l’argument d’un nombre complexe ?

William Mievre - Mis à jour le 13/06/2022
argument d'un nombre complexe

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Argument d’un nombre complexe

Définition

Soit z un nombre complexe non nul. L’ensemble des arguments de z est l’ensemble des antécédents de \dfrac{z}{|z|} par l’application exponentielle complexe définie dans la partie précédente.
Un argument de z sera noté \arg(z).

Remarque

Si \theta_0 est un argument de z, l’ensemble des arguments de z est donné par \big\{\theta_0+2k\pi,\;k\in\Z\big\}. On dit que les arguments de z sont tous égaux modulo 2\pi, on note \arg(z)\equiv \theta_0\,[2\pi]. En général, on choisira un argument contenu dans [0, 2\pi[ ou dans ] - \pi, \pi].

Exemples

  • \arg(1)=0\,[2\pi]
  • \arg(\i)=0\,[\dfrac{\pi}{2}]
  • \arg(-1)=\pi\,[2\pi]
  • Proposition

    Soit z un nombre complexe non nul et \theta un de ses arguments. Alors :

        \[z=|z|e^{\i\theta}.\]

    Cette expression est appelée forme trigonométrique de z.

    Remarque

    On rencontre souvent la notation \theta \in ] - \pi, \pi] pour l’argument de z\in\mathbb{C}^* et \rho\in\mathbb{R}_+^* pour son module. La forme trigonométrique de z s’écrit alors z=\rho e^{\i \theta}.

    Proposition

    Soient deux complexes z et z' avec z' \neq 0 tels que : z=\rho e^{\i\theta} et z'=\rho 'e^{\i\theta'}. Alors :
  • zz'=\rho\rho 'e^{\i(\theta+\theta')}.
  • \dfrac{z}{z'}=\dfrac{\rho}{\rho '}e^{\i(\theta-\theta')}.
  • Démonstration

    Ces résultats se déduisent directement des propriétés de l’exponentielle complexe.

    Corollaire

    Soient z et z' deux nombres complexes non nuls, alors :
  • \arg(zz')\equiv\arg(z)+\arg(z')\,[2\pi]
  • \arg(\dfrac{z}{z'})\equiv\arg(z)-\arg(z')\,[2\pi]
  • \arg(\overline{z})=\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)\equiv-\arg(z)\,[2\pi]
  • \forall n\in\mathbb{Z}, \arg(z^n)\equiv n\arg(z)\,[2\pi]
  • Démonstration

    Pas de difficulté si on utilise la forme trigonométrique. Le dernier point se montre par récurrence.

    Exemple

    Soit z=\dfrac{1-\i}{\i}.
    On peut vérifier que 1-\i= e^{-\i\pi/4} et \i= e^{\i\pi/2} (voir point méthodologique). Alors :

        \[\displaystyle\arg\left(\dfrac{1-\i}{\i}\right)=\arg(1-\i)-\arg(\i)\,[2\pi]=-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]=\dfrac{\pi}{4}\,[2\pi].\]

    De plus \displaystyle\left|\dfrac{1-\i}{\i}\right|=\sqrt{2}. On en déduit donc que : z=\sqrt{2}e^{\i\pi/4}.
    livre maths mpsi vuibert

    Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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    William Mievre
    Co-fondateur des Sherpas
    Passé par une Prépa HEC puis l'ESCP, j'ai donné des centaines d'heures de cours particuliers avant de créer Les Sherpas avec Étienne. Passionné d'éducation, je te partage désormais mes meilleurs conseils afin de t'aider à réussir et t'épanouir dans tes études. Cheers ✌️💖 !

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