Application linéaire : exercice corrigé

Sommaire

Exercice : Application linéaire
Corrigé de l’exercice : Application linéaire

Tu es en galère sur un exercice d’application linéaire ? Pas de stress ! Grâce à cet article dédié à la notion : Application linéaire : exercice corrigé, ce chapitre n’aura désormais plus aucun secret pour toi ! À toi les bonnes notes pour tes prochaines interrogations écrites et orales sur cette notion !

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Exercice : Application linéaire

⏰ Durée : 15 min

💪 Difficulté : niveau 1/3

Dans $\mathbb{R}^3$

, on considère $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\;x+y=0\}$

et $G=\mathrm{Vect}((1,0,1))$

.
1. Interpréter géométriquement les ensembles $F$

et $G$

.
2. Montrer que $\mathbb{R}^3=F\oplus G$

.
3. On considère $p$

la projection sur $F$

parallèlement à $G$

. Pour tout $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$

, déterminer l’expression de $p(x,y,z)$

.
4. On considère $q$

la projection sur $G$

parallèlement à $F$

. Pour tout $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$

, déterminer l’expression de $q(x,y,z)$

.
5. On considère $s$

la symétrie par rapport à $F$

parallèlement à $G$

. Pour tout $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$

, déterminer l’expression de $s(x,y,z)$

Corrigé de l’exercice : Application linéaire

1. Une base de $G$

est $\big((1,0,1)\big)$

. Donc, $\mathrm{dim}(G)=1$

et $G$

est une droite vectorielle.
De plus, $(x,y,z)\in F$

si, et seulement si, $(x,y,z)=x.(1,-1,0)+z.(0,0,1)$

.
Donc, $F=\mathrm{Vect}\big((1,-1,0),(0,0,1)\big)$

. Les vecteurs $(1,-1,0)$

et $(0,0,1)$

sont non colinéaires, donc
$\big((1,-1,0),(0,0,1)\big)$

est une base de $F$

et $\mathrm{dim}(F)=2$

et $F$

est un plan vectoriel.
2. D’après la question précédente, $\mathrm{dim}(\mathbb{R}^3)=3=2+1=\mathrm{dim}(F)+\mathrm{dim}(G)$

.
Soit $(x,y,z)\in F\cap G$

. Par définition de $G$

, il existe $\lambda\in\mathbb{R}$

tel que $(x,y,z)=(\lambda,0,\lambda)$

. Puis, par définition de $F$

, $z=0$

. Donc, $\lambda=0$

, puis, $(x,y,z)=(0,0,0)$

.
On en déduit que $F\cap G=\{(0,0,0)\}$

et $\mathbb{R}^3=F\oplus G$

.
3. Soit $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$

.
D’après la question précédente, il existe $(a,b,c)\in F$

et $\lambda \in \mathbb{R}$

tel que $(x,y,z)=(a,b,c)+(\lambda,0,\lambda)\in G$

.
Par définition de $p$

, $p(x,y,z)=(a,b,c)$

.
Or, on a :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} a+\lambda&=&x\\ b&=&y\\ c+\lambda&=&z\\ a+b&=&0 \end{array}\right. \quad \Longleftrightarrow \quad \left\lbrace\begin{array}{rcl} \lambda&=&x+y\\ b&=&y\\ c&=&-x-y+z\\ a&=&-y \end{array}\right.$

Donc, $p(x,y,z)=(-y,y,-x-y+z)$

4. D’après la question précédente, pour tout $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$

, $q(x,y,z)=(x+y,0,x+y)$

.
5. On a, pour tout $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$

, $s(x,y,z)=2\,p(x,y,z)-(x,y,z)=(-x-2\,y,y,-2\,x-2\,y+z)$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720