Analyse asymptotique : exercice corrigé

William Mievre - Mis à jour le 30/03/2022

Sommaire

Exercice : Analyse asymptotique
Corrigé de l’exercice

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Exercice : Analyse asymptotique

⏰ Durée : 15 min

💪 Difficulté : niveau 1/3

Déterminer un équivalent simple des suites définies par :

1. $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$

;

3. $u_n=a^n-b^n$

avec $(a,b)\in\big(\mathbb{R}_+^*\big)^2$

et $a\neq b$

2. $\displaystyle v_n=\frac{\left(e^{\frac{1}{n}}-1\right) \sin\left(\frac{1}{n^3}\right)}{\tan\left(\frac{1}{n}\right)\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}-1\right)}$

;

Corrigé de l’exercice

1. En multipliant par la quantité conjuguée, on a $\displaystyle u_n=\frac{2}{\sqrt{1+n}+\sqrt{1-n}}=\frac{2}{\sqrt{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)}$

.
Or, par continuité de la fonction $\sqrt{\cdot}$

, on a $\displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\xrightarrow[n\to+\infty]{}2$

. Donc, $\displaystyle u_n\sim\frac{1}{\sqrt{n}}$

.
2. On a : $e^u-1\underset{u\to 0}{\sim}u$

, $\sin(u)\underset{u\to 0}{\sim}u$

, $\tan(u)\underset{u\to 0}{\sim}u$

et $\displaystyle\sqrt[3]{1+u}-1=(1+u)^{\frac{1}{3}}-1\underset{u\to 0}{\sim}\frac{u}{3}$

.
Or, $\displaystyle\frac{1}{n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$

.
Donc, par substitution, $\displaystyle v_n \sim \frac{\frac{1}{n}\times \frac{1}{n^3} }{\frac{1}{n}\times \frac{1}{3n}}\sim \frac{3}{n^2}$

.
3. Il y a deux cas.
Cas 1 : $0<a<b$

. On a : $\displaystyle u_n=b^n\left(\left(\frac{a}{b}\right)^n-1\right)$

. Or, $\displaystyle \left|\frac{a}{b}\right|<1$

.
Donc, $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n=o(1)$

.
Donc, $u_n=b^n(-1+o(1))$

, donc, $u_n\sim -b^n$

.
Cas 2 : $0<b<a$

. On a : $\displaystyle u_n=a^n\left(1-\left(\frac{b}{a}\right)^n\right)$

. Or, $\displaystyle \left|\frac{b}{a}\right|<1$

.
Donc, $\displaystyle \left(\frac{b}{a}\right)^n=o(1)$

.
Donc, $u_n=a^n(1+o(1))$

, donc, $u_n\sim a^n$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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William Mievre

Co-fondateur des Sherpas

Passé par une Prépa HEC puis l'ESCP, j'ai donné des centaines d'heures de cours particuliers avant de créer Les Sherpas avec Étienne. Passionné d'éducation, je te partage désormais mes meilleurs conseils afin de t'aider à réussir et t'épanouir dans tes études. Cheers ✌️💖 !

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