Théorème de Rolle et accroissements finis

Sommaire

Théorème de Rolle
Égalité et inégalité des accroissements finis

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Théorème de Rolle

Théorème : Théorème de Rolle

Soient $a<b$

des réels et $f:[a,b]\to\mathbb{R}$

une fonction. Si

$f$

est continue sur $[a,b]$

;

$f$

est dérivable sur $]a,b[$

;

$f(a)=f(b)$

;

alors, il existe $c\in ]a,b[$

tel que $f'(c)=0$

Démonstration

La fonction $f$

est continue sur le segment $[a,b]$

, donc, par le théorème des bornes atteintes, il existe $(\alpha,\beta)\in[a,b]^2$

tel que :

$\forall x\in[\alpha,\beta],\, f(\alpha)\leq f(x)\leq f(\beta).$

Il y a trois cas.

$Cas~1$

: $\alpha\notin\{a,b\}$

. La fonction $f$

est dérivable en $\alpha$

, possède un minimum (local) en $\alpha$

et $\alpha$

n’est pas une extrémité de $[a,b]$

. Donc, par le théorème précédent, $f'(\alpha)=0$

$Cas~2$

: $\alpha\in\{a,b\}$

et $\beta\notin\{a,b\}$

. La fonction $f$

est dérivable en $\beta$

, possède un maximum (local) en $\beta$

et $\beta$

n’est pas une extrémité de $[a,b]$

. Donc, par le théorème précédent, $f'(\beta)=0$

$Cas~3$

: $\alpha\in\{a,b\}$

et $\beta\in\{a,b\}$

. Dans ce cas, comme $f(a)=f(b)$

, on a $f(\alpha)=f(\beta)$

. Donc, $f$

est constante. Donc, tout point $c\in ]a,b[$

vérifie $f'(c)=0$

Dans tous les cas, il existe $c\in ]a,b[$

tel que $f'(c)=0$

Remarques

Dans le théorème de Rolle, le point $c$

n’est pas nécessairement unique.

Si une fonction vérifie le théorème de Rolle, alors son graphe possède une tangente horizontale.

On considère un point mobile se déplaçant sur une droite. Sa position à l’instant $x$

est notée $f(x)$

.
On suppose qu’aux instants $a$

et $b$

le mobile se trouve à la même position. Si $f$

est continue sur $[a,b]$

et est dérivable sur $]a,b[$

, alors il existe un instant $c$

où la vitesse instantanée du mobile est nulle : $f'(c)=0$

Égalité et inégalité des accroissements finis

Théorème : Égalité des accroissements finis

Soient $a<b$

des réels et $f:[a,b]\to\mathbb{R}$

une fonction. Si

$f$

est continue sur $[a,b]$

;

$f$

est dérivable sur $]a,b[$

;

alors, il existe $c\in ]a,b[$

tel que $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Démonstration

On considère la fonction $g:\begin{array}[t]{cll} [a,b] & \to & \mathbb{R}\\ x & \mapsto & f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a) \end{array}$

La fonction $g$

est continue sur $[a,b]$

, dérivable sur $]a,b[$

et $g(a)=f(a)=g(b)$

.
Donc, par théorème de Rolle, il existe $c\in]a,b[$

tel que $g'(c)=0$

. D’où $f'(c)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$

Remarques

Dans l’égalité des accroissements finis, le point $c$

n’est pas nécessairement unique.

Si une fonction vérifie l’égalité des accroissements finis, alors son graphe possède une tangente de même pente que la sécante passant par les points $\big(a,f(a)\big)$

et $\big(b,f(b)\big)$

On considère un point mobile se déplaçant sur une droite. Sa position à l’instant $x$

est notée $f(x)$

.
Si $f$

est continue sur $[a,b]$

et est dérivable sur $]a,b[$

, alors il existe un instant $c$

où la vitesse instantanée du mobile est égale à sa vitesse moyenne entre les instants $x$

et $a$

, soit : $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Théorème : Inégalité des accroissements finis

Soit $f:I\to\mathbb{R}$

une fonction telle que :

$f$

est dérivable sur $I$

;

il existe $C\in\mathbb{R}$

tel que $|f'|$

est majorée par $C$

,
alors, pour tout $(x,y)\in I^2$

$|f(x)-f(y)|\leq C |x-y|.$

Démonstration

Soit $(x,y)\in I^2$

. Si $x=y$

, l’inégalité est claire. Dans la suite, on suppose $x\neq y$

. Sans perdre de généralité, on peut supposer que $x<y$

.
D’après l’égalité des accroissements finis, il existe $c\in ]x,y[$

tel que, $\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(c)$

.
Or, $|f'|$

est majorée par $C$

.
Donc, $\left|\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\leq C$

Définition : Fonction lipschitzienne

Soient $f:I\to\mathbb{R}$

une fonction et $k\in\mathbb{R}_+$

On dit que $f$

est $k$

-lipschitzienne lorsque : pour tout $(x,y)\in I^2$

$|f(x)-f(y)|\leq k |x-y|.$

On dit que $f$

est lipschitzienne lorsqu’il existe $k\in\mathbb{R}_+$

tel que $f$

est $k$

-lipschitzienne.

Exemples

D’après l’inégalité triangulaire, la fonction valeurs absolue est 1-lipschitzienne.

Remarques

Une fonction lipschitzienne est continue.
Soit $a\in I$

. On a, pour tout $x\in I$

, $|f(x)-f(a)|\leq k |x-a|.$

Par théorème d’encadrement, $f(x)\xrightarrow[x\to a]{}f(a)$

On peut reformuler l’inégalité des accroissements finis : si $f:I\to\mathbb{R}$

est dérivable et si $f'$

est bornée sur $I$

, alors $f$

est lipschitzienne.

Exemples

La fonction $\sin$

est dérivable sur $\mathbb{R}$

et $|\sin'|=|\cos|\leq 1$

.
Donc, par l’inégalité des accroissements finis, $\sin$

est 1-lipschitzienne : pour tout $(x,y)\in I^2$

$|\sin(x)-\sin(y)|\leq |x-y|.$

En particulier, pour tout $x\in\mathbb{R}$

, $|\sin(x)|\leq |x|$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720