📒Les paraboles : cours et exos {Fiche de Maths}

Sommaire

Une parabole, c’est quoi ?
Exercices ️
Corrigés

Devinette ! Mon premier trace l’équation du second degré, mon deuxième peut sourire ou faire la grimace et mon tout est une courbe très connue en mathématiques. Eh oui, on veut évidemment parler de la parabole ! Apprends, révise et exercice-toi grâce à notre fiche de cours. Tu es prêt ? C’est parti ! 🚀

Une femme tient un tuyau en forme de parabole et dis que ce sont des maths.

Une parabole, c’est quoi ? 👀

Définition 📖

Une parabole est courbe qui représente une fonction polynôme du second degré.

Donc de la forme : $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$

Représentation graphique de la parabole ✏️

Quand $a>0$ alors la parabole est tournée vers le haut.
Quand $a<0$ alors la parabole est tournée vers le bas.

Avec deux exemples, ça donne ça !

En abscisse on a les $x$ et en ordonnée les $y$ $(y=f(x))$ .

💡 Rappel

En abscisse on a les x et en ordonnée les y (y=f(x)).

La première coordonnée se lit sur l’axe des abscisses et la seconde se lit sur l’axe des ordonnées.

Coordonnée (x , y)
Coordonnée (abscisse , ordonnée)

Si tu confonds toujours les abscisses des ordonnées, voici un petit moyen mnémotechnique :

Moyen mnémotechnique pour les abscisses et les ordonnées.

Avec a>0

$f(x)=2x^2+x-2$

Et voici la parabole représentative de cette équation.

La parabole est convexe. Elle sourit 😊

Avec a<0

$f(x)=-3x^2+2x-1$

Et voici la parabole représentative de cette équation.

La parabole est concave. Elle fait la grimace ☹️

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Les notions à connaître 🧐

L’axe de symétrie

Dans une parabole, l’axe de symétrie est une droite imaginaire qui divise la parabole en deux parties symétriques.

Cette droite passe par le sommet de la parabole.

Mathématiquement, son équation est de la forme : $y=ax^2+bx+c$ s’écrit $x=\frac{-b}{2a}$

Le sommet

Le sommet de la parabole est le point le plus bas (dans le cas d’une parabole ouverte vers le haut) ou le point le plus haut (dans le cas d’une parabole ouverte vers le bas).

Si l’équation de la parabole est donnée sous la forme $y=ax^2+bx+c$ , les coordonnées du sommet peuvent être trouvées en utilisant les formules suivantes :
$(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$

Les différente formes d’une fonction du second degré 🤓

On peut écrire une équation du second degré de plusieurs formes.

Un homme dit que le diable a plusieurs formes. — *Toi avec les maths avant de connaître les Sherpas*

Forme développée

Écriture

$f(x)=ax^2+bx+c$

Sommet

$h=\frac{-b}{2a}$

$k=f(h)$

Zéros

Pour déterminer le(s) point(s) qui coupent l’axe des abscisses, il faut trouver le(s) racine(s) de l’équation.

En gros pour quel(s) $x$ , $y$ est égal à $0$ .

Une équation du second degré est une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ où $a$ , $b$ et $c$ sont des réels avec $a\neq0$

Une solution de cette équation s’appelle une racine du trinôme $ax^2+bx+c$
On appelle discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ , le nombre réel, noté $\Delta$
$\Delta=b^2-4ac$ .

Si $\Delta>0$ alors $ax^2+bx+c=0$ a deux solutions distinctes :
$x_1=\frac{-b-\surd{Delta}}{2a}$
$x_2=\frac{-b+\surd{Delta}}{2a}$

Si $\Delta=0$ alors $ax^2+bx+c=0$ a une unique solution :
$x_0=\frac{-b}{2a}$

Si $\Delta<0$ alors $ax^2+bx+c=0$ n’a pas de solution.

Forme factorisée