Cours sur la loi de composition interne

William Mievre - Mis à jour le 04/07/2022

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Définition : Loi de composition interne

On appelle loi de composition interne toute application $\varphi : E \times E \rightarrow E$

. Si $(x,y)\in\mathbb{E}^2$

, plutôt qu’utiliser la notation $\varphi (x,y)$

, nous utiliserons la notation $x\star _E y$

Exemples :

L’addition et la multiplication sont des lois de composition interne sur $\mathbb{Z}$

, $\mathbb{Q}$

, $\mathbb{R}$

et $\mathbb{C}$

La loi $\star$

définie sur $\mathbb{N}^2$

par $a \star b = a^b$

est une loi de composition interne sur $\mathbb{N}$

La soustraction est une loi de composition interne sur $\mathbb{Z}$

, mais pas sur $\mathbb{N}$

Si $E$

est un ensemble, les opérations $\cap$

et $\cup$

sont des lois de composition internes sur $\mathcal{P}(E)$

Définition : Associativité et commutativité d’une loi de composition interne

Soit $E$

un ensemble muni d’une loi de composition interne $\star _E$

La loi $\star _E$

est associative si :

$$\forall (x,y,z) \in E^3$, $(x\star _Ey)\star _Ez = x\star _E(y\star_Ez)$.$

Lorsque la loi $\star_E$

est associative, on peut écrire plus simplement $x\star_E y\star_E z$

car l’ordre dans lequel sont faites les opérations n’importe pas.

La loi $\star _E$

est commutative si :

$$\forall (x,y) \in\ E^2$, $x\star _Ey = y\star _Ex$.$

La loi $\star _E$

admet un élément neutre $e$

si :

$$\forall x \in E$, $x\star _Ee = e\star _Ex = x$.$

On suppose ici que $\star _E$

admet un élément neutre $e$

. Soit $x \in E$

. S’il existe $x \in E$

tel que $x\star _Ey = y\star _Ex = e$

, on dit que $x$

est inversible et que son inverse est $y$

Définition : Distributivité d’une loi de composition interne

Soit $E$

un ensemble muni de deux lois de composition internes notées $\star_1$

et $\star_2$

. On dit que :

$\star_1$

est distributive sur $\star_2$

à gauche si :

$$\forall (x,y,z) \in E^3$, $x\star_1(y\star_2z) = (x\star_1y)\star_2(z\star_1x)$.$

$\star_1$

est distributive sur $\star_2$

à droite si :

$$\forall (x,y,z) \in E^3$, $(y\star_2z)\star_1x = (y\star_1x)\star_2(z\star_1x)$.$

Définition : Partie stable

Soit $E$

un ensemble muni d’une loi de composition interne $\star_E$

. Soit $F$

une partie non vide de $E$

. On dit que $F$

est stable pour $\star_E$

si pour tout $(x,y) \in E^2$

, $(x,y) \in F^2 \Rightarrow x\star_Ey \in F$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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