Tu cherches un cours sur la loi de composition interne ? C’est ici ! Tu trouveras toutes les définitions indispensables pour maîtriser cette notion de mathématiques et briller lors de ta prochaine interro de cours !
Et si tu veux pousser ton apprentissage encore plus loin, pourquoi ne pas transformer l’étude des lois associatives et commutatives en une expérience enrichissante ? Fais-le avec l’aide d’un prof particulier d’algèbre. 🧮
Définition : Loi de composition interne
On appelle loi de composition interne toute application
.
Si 
, plutôt qu’utiliser la notation 
, nous utiliserons la notation 
.
Exemples :
, 
, 
et 
.
définie sur 
par 
est une loi de composition interne sur 
. , mais pas sur . 
est un ensemble, les opérations 
et 
sont des lois de composition internes sur 
. Définition : Associativité et commutativité d’une loi de composition interne
Soit un ensemble muni d’une loi de composition interne 
.
est associative si :
![\[ $\forall (x,y,z) \in E^3$, $(x\star _Ey)\star _Ez = x\star _E(y\star_Ez)$. \]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-72a3bb354dfb96705d553659f7dd5dc2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
est associative, on peut écrire plus simplement 
car l’ordre dans lequel sont faites les opérations n’importe pas. est commutative si :
![\[ $\forall (x,y) \in\ E^2$, $x\star _Ey = y\star _Ex$. \]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-259a51c9235895ddf2904e7650b7530f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
admet un élément neutre 
si :
![\[ $\forall x \in E$, $x\star _Ee = e\star _Ex = x$. \]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-df7ef1d57f89449a9c6052e1e4f7827a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
admet un élément neutre . Soit 
. S’il existe tel que 
, on dit que 
est inversible et que son inverse est 
.Définition : Distributivité d’une loi de composition interne
Soit un ensemble muni de deux lois de composition internes notées 
et 
. On dit que :
est distributive sur à gauche si :
![\[ $\forall (x,y,z) \in E^3$, $x\star_1(y\star_2z) = (x\star_1y)\star_2(z\star_1x)$. \]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-ddc13bf247ad8efd3602527c2ac75952_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
est distributive sur à droite si :
![\[ $\forall (x,y,z) \in E^3$, $(y\star_2z)\star_1x = (y\star_1x)\star_2(z\star_1x)$. \]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-f8db41789e99dcedc323261c8ae106c9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Définition : Partie stable
Soit un ensemble muni d’une loi de composition interne . Soit 
une partie non vide de . On dit que est stable pour si pour tout 
, 
.
Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720
