Fonction dérivée

Sommaire

Exercice 1 : Fonction dérivée
Corrigé de l’exercice
Exercice 2 : Fonction dérivée
Corrigé de l’exercice

Vous travaillez actuellement sur la fonction dérivée ? Avec cet article dédié, comprenant des exercices corrigés, vous allez rapidement assimiler toutes les notions clés de ce sujet.

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Exercice 1 : Fonction dérivée

⏰ Durée : 10 min

💪 Difficulté : niveau 1/3

Soit $f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}$

la fonction définie par $\displaystyle f(x) = x^2 \left\lfloor\dfrac{1}{x}\right\rfloor$

.
1. Prolonger $f$

par continuité en 0. On note encore $f$

le prolongement obtenu.
2. Étudier la dérivabilité de $f$

en 0.

Corrigé de l’exercice

1. Par définition de la partie entière, pour tout $x\neq 0$

, on a : $x-x^2 < f(x) \leq x$

. Donc, par théorème d’encadrement, $f(x)\xrightarrow[x\to0]{}0\in\mathbb{R}$

.
Donc, $f$

est prolongeable par continuité en 0 et on pose $f(0)=0$

.
2. Pour tout $x\neq 0$

, on a $\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0}= x \left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor$

.
Si $x<0$

, on a comme dans la question 1, $1-x < f(x) \leq 1$

.
Donc, par théorème d’encadrement, $\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \xrightarrow[x\to 0^-]{}1$

.
Si $x>0$

, de même, on a $1-x > f(x) \geq 1$

, puis, par théorème d’encadrement, $\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \xrightarrow[x\to 0^+]{}1$

.
Donc, $\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \xrightarrow[x\to 0]{}1\in\mathbb{R}$

. On en déduit que $f$

est dérivable en 0 et $f'(0)=1$

Exercice 2 : Fonction dérivée

Exercice 2 :

⏰ Durée : 45 min

💪 Difficulté : niveau 1/3

Justifier que les fonctions suivantes sont de classe $\mathcal{C}^{\infty}$

sur un (ou des) intervalle(s) à préciser puis calculer leurs dérivées d’ordre $n$

, pour tout $n\in\mathbb{N}$

:
1. $f:x\mapsto \dfrac{1}{1-x^2}$

;
2. $g:x\mapsto \cos(x)e^x$

;
3. $h:x\mapsto \big(\sin(x)\big)^3$

;

Corrigé de l’exercice

1. La fonction $f$

est rationnelle donc de classe $\mathcal{C}^{\infty}$

sur $]-\infty,-1[$

, $]-1,1[$

et $]1,+\infty[$

. Dans la suite, $I$

désigne un de ces intervalles.\\ On décompose en éléments simples $f$

: pour tout $x\in I$

$f(x)=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right).$

On note $\displaystyle f_1(x)=\frac{1}{1-x}$

et $\displaystyle f_2(x)=\frac{1}{1+x}$

. Les fonctions $f_1$

et $f_2$

sont de classe $\mathcal{C}^\infty$

comme fonctions rationnelles dont le dénominateur ne s’annule pas sur $I$

.
On montre ensuite par récurrence, que pour tout $n\in\N$

et , pour tout $x\in I$

, $\displaystyle f_1^{(n)}(x)= \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$

et $\displaystyle f_2^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

.
Donc, pour tout $x\in I$

$f^{(n)}= \frac{1}{2} \left(\frac{n!}{(1-x)^{n+1}} +\frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}\right)= \frac{n!}{2} \times \frac{(1+x)^{n+1}+(-1)^n\times (1-x)^{n+1}}{(1-x^2)^{n+1}}.$

2. La fonction $g$

est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$

sur $\mathbb{R}$

comme produit de fonctions de classe $\mathcal{C}^{\infty}$

.
On remarque que, pour tout $x\in \mathbb{R}$

, $g(x)= \Re(\varphi(x))$

où $\varphi(x)= e^{(1+\i) x}$

.
On sait que la fonction $\varphi$

est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$

sur $\mathbb{R}$

et, pour tout $n\in\mathbb{N}$

$\forall x \in \mathbb{R},\,\,g^{(n)}(x)= \Re\big(\varphi^{(n)}(x)\big).$

De plus, pour tout $n\in\mathbb{N}$

$\forall x \in \mathbb{R},\,\varphi^{(n)}(x)=(1+\i)^n e^{(1+\i) x} .$

Or, $\displaystyle (1+\i)^n=\sqrt{2}^n\left(e^{\i\frac{\pi}{4}}\right)^n=\sqrt{2}^ne^{\i\,\frac{n\pi}{4}}$

. Donc,

$\forall n \in \mathbb{N},\quad \forall x \in \mathbb{R},\, \varphi^{(n)}(x)= \sqrt{2}^n e^{\i\left(\frac{n\pi}{4}+x\right)}e^x \quad\text{ et } \quad g^{(n)}(x)=\sqrt{2}^n \cos\left(\frac{n\pi}{4}+x\right)e^{x}.$

3. Ici, on linéarise (formule d’Euler) :

$\forall x\in \mathbb{R}, \quad \sin(x)^3= -\frac{\sin(3 x)}{4} + \frac{3\sin(x)}{4} .$

Pour tout $x\in\mathbb{R}$

, on pose $h_1(x)= \sin(x)$

, et $h_2(x)=\sin(3 x)$

. On a alors, pour tout $x\in\mathbb{R}$

, $h_2(x)=h_1(3 x)$

.
On sait que $h_2$

est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$

sur $\mathbb{R}$

, donc $h_1$

aussi (composée de fonctions de classe $\mathcal{C}^\infty$

) et, pour tout $n\in\mathbb{N}$

, pour tout $x\in\mathbb{R}$

, $h_2^{(n)}(x)=3^n h_1^{(n)}(3x)$

.
De plus, pour tout $x\in \mathbb{R}$

, on a $h_1(x)=\Im(e^{\i x})$

, donc, pour tous $n\in\mathbb{N}$

et $x\in\mathbb{R}$

$h_1^{(n)}(x)= \Im\big(i^ne^{\i x}\big)= \Im\big(e^{\i\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)}\big)=\sin\left(x+ \frac{n\pi}{2}\right).$

Ainsi,

$\forall n\in\mathbb{N},\forall x\in\mathbb{R}, \quad h^{(n)}(x)=- \frac{ 3^n\sin\left(3 x+ \frac{n\pi}{2}\right)}{4} + \frac{3 \sin\left(x+ \frac{n\pi}{2}\right)}{4} .$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720