La factorisation {fiche de maths} 🔢

Aujourd’hui, on te parle d’un outil essentiel à la simplification de tes calculs et de tes équations : la factorisation ! C’est une notion clé en mathématiques et il faut que tu la maîtrises. Pour t’aider, on t’a préparé une fiche de cours. Tu es prêt ? C’est parti ! 🚀

*Toi, au moment de factoriser avant de connaître les Sherpas !*

La factorisation, c’est quoi ? 👀

Définition 📖

Selon le Robert, la factorisation est une « écriture (d’une expression, d’un nombre) sous la forme d’un produit de facteur ».

En fait, factoriser, c’est transformer en produit une expression ou un nombre qui ne l’est pas à la base. Tu vas mieux comprendre avec des exemples.

$6a+6b=6(a+b)$ ou $6a-6b=6(a-b)$

Le facteur commun ici est 6 !

💡 Le savais-tu ?

Pour rappel : les nombres premiers ne sont divisibles que par 1 et par eux-même.
Il n’est donc pas possible de factoriser les nombres premiers, car on ne peut pas les décomposer. Cependant ils servent à décomposer au maximum un nombre.

Par exemple le nombre 12 peut être décomposé comme ceci : 12=2x2x3.
On arrête ici la décomposition car 2 et 3 sont premiers. Et donc 12 peut être factorisé comme ceci : 12=4×3.

On te dit ça car la méthode de la décomposition d’un nombre permet de factoriser lorsque tu as des expressions plus complexes !

La factorisation, à quoi ça sert ? 🤔

La factorisation sert à simplifier des expressions algébriques et à résoudre des équations.

Le fait de mettre sous forme de produit réduit l’expression. Cela permet parfois d’éliminer des nombres pour arriver plus facilement à résoudre une équation ou une division simple.

↪️ Exemples

$4x+8=16=4(x+2)=4(4)=x+2=4$

On a pu éliminer 4 et ça devient plus facile à résoudre !

$\frac{9}{54}=\frac{9}{9\times6}=\frac{1}{6}$

On a pu éliminer 9 et ça devient plus simple à calculer !

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Factoriser une expression 🧐

Méthode 1 : trouver un facteur commun

La façon la plus évidente de factoriser est de trouver un nombre commun ou une expression commune.

↪️ Exemples

$67\times8+67\times2=67(8+2)=67\times10=670$

$84\times56-84\times44=84(56+44)=84\times100=8400$

$27x+4x=x(27+4)=31x$

💡 Idée

Apprends bien tes tables de multiplication pour pouvoir factoriser rapidement !

Méthode 2 : trouver une identité remarquable

Pour factoriser, si tu as l’œil, tu peux trouver une identité remarquable.

💡 Rappel des identités remarquables

a²+2ab+b²=(a+b)²
a²-2ab+b²=(a-b)²
a²-b²=(a+b)(a-b)

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↪️ Exemples

$4x^2+8x+4=(2x+2)^2$

$x^2-2x+1=(x-1)^2$

$4x^2-4=(2x+2)(2x-2)$

$1-64x^2=(1-8x)(1+8x)$

Factoriser un polynôme du second degré 🤨

Ça se corse un peu ici. On t’explique comment factoriser un polynôme du second degré. Il y a plusieurs étapes à suivre. Sois attentif !

Rappel équation du second degré 💡

Définition d’une équation du second degré

Une équation du second degré est une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ où a, b et c sont des réels avec $a\neq0$

Définition du discriminant

Une solution de cette équation s’appelle une racine du trinôme $ax^2+bx+c$
On appelle discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ , le nombre réel, noté $\Delta$
$\Delta=b^2-4ac$ .

Propriétés

Si $\Delta>0$ alors $ax^2+bx+c=0$ a deux solutions distinctes :
$x_1=\frac{-b-\surd{Delta}}{2a}$
$x_2=\frac{-b+\surd{Delta}}{2a}$

Méthode pour factoriser 🤓

Soit f, une fonction polynôme du second degré défini sur $\Re$ par $f(x)=ax^2+bx+c$

Pour factoriser un polynôme du second degré $ax^2+bx+c=0$ , on détermine le discriminant $\Delta=b^2-4ac$

Si $\Delta=0$ alors pour tout réel $x$ , on a $f(x)=a(x-x_0)^2$

Si $\Delta>0$ alors pour tout réel $x$ , on a $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

Si $\Delta<0$ alors il n’existe pas de forme factorisée !

↪️ Exemples

$4x^2+5x+6$

Calcul du discriminant :

$\Delta=5^2-4\times4\times6=25-80=-55<0$ → On ne peut pas factoriser

$4x^2+8x+4$

Calcul du discriminant :

$\Delta=8^2-4\times4\times4=64-64=0$ → Il existe une solution unique $x_0$

Calcul de la solution $x_0$ : $x_0=\frac{-8}{2\times4}=\frac{-8}{8}=-1$

On factorise : $4x^2+5x+6=4(x-(-1)^2=4(x+1)^2$

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Exercices ✍️

Un professeur écrit un test de maths sur le tableau.

Exercice 1

Trouve le facteur commun pour factoriser les expressions suivantes :

1. $10+12$
2. $4x+20$
3. $25x+45$

Exercice 2

Factorise à l’aide des identités remarquables les expressions suivantes :

1. $49x^2+28x+4$
2. $4x^2-4x+1$
3. $9x-4$

Corrigés 💯

Corrigé 1

1. Réponse : le facteur commun est 2.
$10+12=2(5+6)=2(11)$

2. Réponse : le facteur commun est 4.
$4x+20=4x+4\times5=4(x+5)$

3. Réponse : le facteur commun est 5.
$25x+45=5\times5x+5\times9=5(5x+9)$

Corrigé 2

1. L’identité remarquable ici est $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ avec a=7 et b=2. La factorisation de $49x^2+28x+4$ est donc $(7x+2)^2$

2. L’identité remarquable ici est $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ avec a=2 et b=1. La factorisation de $4x^2-4x+1$ est donc $(2x-1)^2$

3. L’identité remarquable ici est $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ avec a=3 et b=2. La factorisation de $9x-4$ est donc $(3x+2)(3x-2)$

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Quiz

Pour vérifier que tu as bien compris la factorisation, réponds au quiz !

Un homme écrit des équations sur un tableau. — *Les maths depuis que tu sais factoriser !*

Voilà, notre fiche de cours sur la factorisation touche à sa fin. On espère qu’elle t’a aidé à mieux la comprendre et à l’utiliser ! Cartonne en mathématiques avec les autres fiches de notre blog et en prenant des cours particuliers de maths avec un Sherpa.

FAQ ✅

Comment fait-on pour factoriser ?

Cherche des éléments communs ou structures pour simplifier l’expression. Utilise des techniques comme la mise en évidence de facteurs communs.

Quelle formule permet de factoriser par recherche d’un facteur commun ?

Identifie un terme commun. Pour ax + ay, a est le facteur commun, donc on obtient a(x + y).

Comment factoriser 6x + 9?

Le facteur commun est 3. Donc, 6x + 9 se factorise en 3(2x + 3).

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Factorisation : définition, méthodes, exercices corrigés 🔢

La factorisation, c’est quoi ? 👀

Définition 📖

La factorisation, à quoi ça sert ? 🤔

Factoriser une expression 🧐

Méthode 1 : trouver un facteur commun

Méthode 2 : trouver une identité remarquable

Factoriser un polynôme du second degré 🤨

Rappel équation du second degré 💡

Définition d’une équation du second degré

Définition du discriminant

Propriétés

Méthode pour factoriser 🤓

Exercices ✍️

Exercice 1

Exercice 2

Corrigés 💯

Corrigé 1

Corrigé 2

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FAQ ✅

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