Isomorphisme : définition, fiche de cours

Sommaire

Définition de l'isomorphisme et propositions
Conseils méthodologiques

Qu’est-ce qu’un isomorphisme ? Un mot compliqué mais une notion assez simple en réalité. On te donne la définition de l’isomorphisme juste ici ! Tu trouveras aussi toutes les propositions du cours accompagnées de leur démonstration. Deviens incollable sur la notion d’isomorphisme !

Et si tu souhaites encore plus progresser, nos cours particuliers d’algèbre sont là pour te guider, rendant l’isomorphisme facilement accessible et compréhensible. 🔄

Définition de l’isomorphisme et propositions

📍 Définition : Isomorphisme

Soit $f : E \to F$

une application de $E$

dans $F$

. On dit que $f$

est un isomorphisme de $E$

sur $F$

lorsque $f$

est linéaire et est une bijection de $E$

sur $F$

☝️ Proposition :

Soit $f$

un isomorphisme de $E$

sur $F$

. Alors, sa bijection réciproque $f^{-1}$

est une application linéaire.
C’est donc un isomorphisme de $F$

sur $E$

Démonstration :

Soit $(y_1,y_2) \in F \times F$

et $\lambda \in \mathbb{K}$

. Par bijectivité de $f$

, il existe $(x_1,x_2) \in E \times E$

tel que $y_1 = f(x_1)$

et $y_2 = f(x_2)$

. Par linéarité de $f$

, on a : $\lambda.y_1 + y_2 = f(\lambda.x_1 +x_2)$

.
D’où, par bijectivité de $f$

, $f^{-1}(\lambda.y_1+y_2) = \lambda.x_1 + x_2$

. On a aussi $x_1 = f^{-1}(y_1)$

et $x_2 = f^{-1}(y_2)$

. Donc,

$f^{-1}(\lambda.y_1+y_2) = \lambda. f^{-1}(y_1) + f^{-1}(y_2) .$

Ainsi, $f^{-1}$

est linéaire.

📍 Définition : Espaces vectoriels isomorphes

On dit que deux espaces vectoriels $E$

et $F$

sont isomorphes lorsqu’il existe un isomorphisme de $E$

sur $F$

☝️ Proposition :

Soit $f \in \mathcal{L}(E,F)$

.
L’application linéaire $f$

est un isomorphisme si, et seulement si, il existe une application $g \in \mathcal{F}(F,E)$

telle que $g \circ f = \text{Id}_E$

et $f \circ g = \text{Id}_F$

. Dans ce cas, $g = f^{-1}$

et $g$

est linéaire.

Démonstration :

Le sens direct est immédiat.
Réciproquement, si $g \circ f = \text{Id}_E$

, alors $f$

est injective (revenir à la définition d’injection) si et $f \circ g = \text{Id}_F$

alors $f$

est surjective (revenir à la définition de surjection).
La linéarité de $g$

vient de la proposition précédente.

Remarque :

La bijection réciproque d’un isomorphisme est linéaire, on en déduit que la définition d’espaces vectoriels isomorphes peut aussi s’énoncer sous la forme : on dit que deux espaces vectoriels $E$ et $F$ sont isomorphes lorsqu’il existe un isomorphisme de $F$ sur $E$ .

☝️ Proposition :

Soit $f \in \mathcal{L}(E,F)$

et $g \in \mathcal{L}(F,G)$

. Si $f$

et $g$

sont des isomorphismes, alors $g \circ f$

est un isomorphisme de $E$

sur $G$

et :

$$(g \circ f )^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.$

Démonstration :

On a :

$f^{-1}\;\circ\;g^{-1}\;\circ\;g\;\circ\;f = f^{-1}\;\circ\;\text{Id}_F\;\circ\;f = f^{-1}\;\circ\;f = \text{Id}_E$

$g\;\circ\;f\;\circ\;f^{-1}\;\circ\;g^{-1} = g\;\circ\;\text{Id}_F\;\circ\;g^{-1} = g\;\circ\;g^{-1} = \text{Id}_G$

Ainsi, $g\;\circ\;f$

est une bijection de $E$

sur $G$

et $(g\;\circ\;f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$

.
Par la proposition précédente, $f^{-1}$

et $g^{-1}$

sont linéaires. Donc la composée $f^{-1} \circ g^{-1}$

est linéaire.

💡 Conseils méthodologiques : Montrer qu’une application est un isomorphisme

Pour montrer qu’une application $f : E \to F$

est un isomorphisme de $E$

sur $F$

, on peut :

Montrer que $f$

est linéaire, injective sur $E$

et surjective de $E$

sur $F$

Montrer que $f$

est linéaire et déterminer $g \in \mathcal{F}(F,E)$

telle que $g\;\circ\;f = \text{Id}_E$

et $f\;\circ\;g = \text{Id}_F$

Exemple :

Considérons les applications linéaires :

$\begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{C}[X] & \to & \mathbb{C}[X] \\ & & P(X) & \mapsto & P(X+1) \\ \end{array}\qquad \text{et}\qquad \begin{array}{ccccc} g & : & \mathbb{C}[X] & \to & \mathbb{C}[X] \\ & & P(X) & \mapsto & P(X-1) \\ \end{array}$

On vérifie facilement que $g\;\circ\;f = \text{Id}_{\mathbb{C}[X]}$

et $f\;\circ\;g = \text{Id}_{\mathbb{C}[X]}$

. Donc $f$

est un isomorphisme de $\mathbb{C}[X]$

sur $\mathbb{C}[X]$

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Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720