Comment calculer la comatrice ?

Rédac des Sherpas - Mis à jour le 29/05/2022
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Comatrice

Définition : Comatrice

Soit A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}). La matrice \big(\Delta_{i,j}\big)_{1\leq i,j\leq n} des cofacteurs de A est appelée comatrice de A et est notée \mathrm{Com}(A).

Proposition

Soit A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}).
On a {}^t\mathrm{Com}(A)\times A=A\times{}^t\mathrm{Com}(A)=\mathrm{det}(A).I_n.

Démonstration

On note A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}. Soit (i,j)\in [[1,n]]^2.
Le coefficient en position ligne i colonne j de {}^t \mathrm{Com}(A)\times A est \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n \Delta_{k,i}a_{k,j}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^na_{k,j} \Delta_{k,i}.
On note B_{i,j} la matrice obtenue en remplaçant la i-ème colonne de A par la j-ème.
Par développement par rapport à la i-ème colonne, on a \mathrm{det}(B_{i,j})=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^na_{k,j}\Delta_{k,i}.
Si i\neq j, alors les colonnes i et j de B_{i,j} sont égales, donc, \mathrm{det}(B_{i,j})=0. Si i=j, alors B_{i,j}=A, donc \mathrm{det}(B_{i,j})=\mathrm{det}(A).
Ainsi,

    \[\sum\limits_{k=1}^n \Delta_{k,i}a_{k,j} = \left\lbrace\begin{array}{cl} \mathrm{det}(A) & \text{si $i=j$}\\ 0 & \text{si $i\neq j$}. \end{array}\right.\]

    \[\sum\limits_{k=1}^n \Delta_{k,i}a_{k,j} = \left\lbrace\begin{array}{cl} \mathrm{det}(A) & \text{si $i=j$}\\ 0 & \text{si $i\neq j$}. \end{array}\right.\]


Donc, {}^t\mathrm{Com}(A)\times A=\mathrm{det}(A).I_n. L’égalité A\times {}^t\!\mathrm{Com}(A)=\mathrm{det}(A).I_n se montre de la même manière.

On a alors immédiatement le résultat suivant.

Corollaire

Soit A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K}). On a :

    \[A^{-1} = \frac{1}{\mathrm{det}(A)}.{}^t\mathrm{Com}(A).\]

    \[A^{-1} = \frac{1}{\mathrm{det}(A)}.{}^t\mathrm{Com}(A).\]

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Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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