Comment calculer la comatrice ?

William Mievre - Mis à jour le 29/05/2022

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Comatrice

Définition : Comatrice

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

. La matrice $\big(\Delta_{i,j}\big)_{1\leq i,j\leq n}$

des cofacteurs de $A$

est appelée comatrice de $A$

et est notée $\mathrm{Com}(A)$

Proposition

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

.
On a ${}^t\mathrm{Com}(A)\times A=A\times{}^t\mathrm{Com}(A)=\mathrm{det}(A).I_n$

Démonstration

On note $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$

. Soit $(i,j)\in [[1,n]]^2$

.
Le coefficient en position ligne $i$

colonne $j$

de ${}^t \mathrm{Com}(A)\times A$

est $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n \Delta_{k,i}a_{k,j}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^na_{k,j} \Delta_{k,i}.$

On note $B_{i,j}$

la matrice obtenue en remplaçant la $i$

-ème colonne de $A$

par la $j$

-ème.
Par développement par rapport à la $i$

-ème colonne, on a $\mathrm{det}(B_{i,j})=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^na_{k,j}\Delta_{k,i}$

.
Si $i\neq j$

, alors les colonnes $i$

et $j$

de $B_{i,j}$

sont égales, donc, $\mathrm{det}(B_{i,j})=0$

. Si $i=j$

, alors $B_{i,j}=A$

, donc $\mathrm{det}(B_{i,j})=\mathrm{det}(A)$

.
Ainsi,

$\sum\limits_{k=1}^n \Delta_{k,i}a_{k,j} = \left\lbrace\begin{array}{cl} \mathrm{det}(A) & \text{si $i=j$}\\ 0 & \text{si $i\neq j$}. \end{array}\right.$

Donc, ${}^t\mathrm{Com}(A)\times A=\mathrm{det}(A).I_n$

. L’égalité $A\times {}^t\!\mathrm{Com}(A)=\mathrm{det}(A).I_n$

se montre de la même manière.

On a alors immédiatement le résultat suivant.

Corollaire

Soit $A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$

. On a :

$A^{-1} = \frac{1}{\mathrm{det}(A)}.{}^t\mathrm{Com}(A).$

Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720

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William Mievre

Co-fondateur des Sherpas

Passé par une Prépa HEC puis l'ESCP, j'ai donné des centaines d'heures de cours particuliers avant de créer Les Sherpas avec Étienne. Passionné d'éducation, je te partage désormais mes meilleurs conseils afin de t'aider à réussir et t'épanouir dans tes études. Cheers ✌️💖 !

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