Calculs littéraux : un monde sans chiffres 😯 !

Toi qui pensais que les mathématiques n’étaient que des calculs avec des chiffres et des nombres, désolé de te dire que ce n’est pas exactement le cas.

On va voir aujourd’hui que les lettres se tapent l’incruste dans tes cours de maths. Et oui, tu les utilises pour écrire ta meilleure rédaction de français d’habitude, mais là, elles vont se retrouver dans tes équations. C’était déjà bien assez compliqué avec des nombres, tu me diras 😡.

Allez, ne te décourage pas ! Prends ta calculatrice et suis les Sherpas dans un monde où une lettre peut se compter.

Des chiffres et des lettres 🔢🔠

Le monde des mathématiques est vaste et complexe et pour cela, il a fallu que l’homme invente les chiffres, puis qu’il se dise que, finalement, ajouter une lettre dans un calcul et bah ce n’est pas si mal que ça. Et à l’expression littérale et aux calculs littéraux de naître.

Définitions et origine ✒️

💡 Définition

Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.

Le « calcul littéral » signifie « calcul avec des lettres ». Cela englobe de nombreuses équations et inéquations.

L’algèbre a fait des progrès prodigieux grâce aux mathématiciens français François Viète (1540-1603) et Albert Girard (1595-1632) 🧑‍🔬.

Au lieu d’exprimer les solutions à des problèmes mathématiques en langage courant, ils utilisèrent dans un premier temps des chiffres. Jusque-là, ça ne semble pas si fou. Mais leur plus brillante idée a été d’utiliser des lettres pour désigner des valeurs données et des inconnues 👏.

Ainsi, un énoncé tel que : « Trouver un nombre dont le triple ajouté au nombre quatre vaut zéro » est devenu : « Résoudre 3x + 4 = 0 ». Un problème qui nécessitait jadis plusieurs pages, se résout désormais en quelques ligne de calculs.

Le penseur du calcul littéral 🔍

C’est en 1571 et 1591 que François Viète (1540-1603) publie deux ouvrages ouvrage sur la trigonométrie (Canon mathematicus et In artem analyticem isagoge), qui représentent un grand pas en avant pour l’algèbre. Pour Viète, le calcul littéral a pour but clair de résoudre tous les problèmes. Les inconnues sont donc désignées par des voyelles et les grandeurs connues par des consonnes 🔡.

Sacré François ! Allez, voyons comment les calculs littéraux fonctionnent maintenant.

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L’introduction aux calculs littéraux ☄️

Voici la formule de base du calcul littéral : ka + kb = k(a+b) ou (a+b)k. Ne sois pas effrayé, on va t’expliquer au mieux pour que tu ressortes de cet article en ayant tout compris !

La distributivité 👉

On va détailler un peu plus cette formule : k × (a + b) = k × a + k × b ; soit k(a + b) = ka + kb. C’est le même principe pour la soustraction : k × (a – b) = k × a − k × b ; soit k(a – b) = ka – kb.

C’est bon tu commence à saisir ?

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Cest ce qu’on nomme la « distributivité », car en développant l’expression, on « distribue les lettres sur les autres ».

Le développement 🙂

Développer signifie que l’on transforme une multiplication en une somme ou en une différence.

Dans les formules précédentes, on a transformé le produit de k par (a + b) (ou (a −b)) en une somme (ou une différence). Donc : k × (a + b) et k × (a − b), sont devenus : ka + kb et ka – kb.

💡Exemple

Développer l’expression 3(4x – 6).

D’après les formules de distributivité, on a : 3(4x – 6) = 3 × 4x – 3 × 6 = 12x – 18.

La factorisation 🤏

En revanche, factoriser signifie faire le chemin inverse : une somme ou une différence devient un produit. Si on reprend l’exemple de tout à l’heure, mais que l’on factorise au lieu de développer, on peut passer de “k × a + k × b ou k × a – k × b” aux formes factorisées que sont “k(a+b) et k(a-b)”.

La factorisation, comme tu peux le voir, simplifie l’expression mathématique, c’est-à-dire qu’elle permet de trouver un facteur commun à a et b.

💡 Exemples

Factorisons par x l’expression 5x + 8x.
5x + 8x = x(5 + 8) = 13x.

On va ajouter quelques lettres et on va maintenant factoriser l’expression 4a + 3b – 8a + 6b.
4a + 3b – 8a + 6b = 4a – 8a + 3b + 6b = a(4 – 8) + b(3 + 6) = – 4a + 9b.

La double distributivité ‼️

La double distributivité porte bien son nom et signifie qu’il faut juste que tu distribues deux fois et pas une 👍.

Personne qui te fait comprendre que c'est logique — Logique !

On s’en sert pour les expressions du style : (a + b) (c + d) tel que a, b, c et d sont des nombres relatifs (entiers positifs ou négatifs). On distribue donc « a » sur « c » et « d » ; et « b » sur « c » et « d ». Autrement dit, on fait la multiplication de « a » par « c » puis par « d » et ensuite de « b » par « c » puis par « d ».

Ce qui nous amène à : (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd.
D’ailleurs, c’est pareil avec la soustraction : (a + b) (c – d) = a x c + a x (-d) + b x c + b x (-d) = ac – ad + bc – bd.

🚨 Petit rappel sur les nombres négatifs

Regarde bien ce développement !

(a – b) (c – d)

= a x c + a x (-d) + (-b) x c + (-b) x (-d)

= ac + (-ad) + (-bc) + bd

= ac – ad – bc + bd.

En effet, lorsque tu multiplies un chiffre positif avec un chiffre négatif, le résultat est négatif. Ex : 3 (-4) = -12.

Mais, lorsque tu multiplies deux chiffres négatifs entre eux, cette fois, le résultat est positif. Ex : (-3) x (-7) = 21.

Tu sais désormais ce qu’est la distributivité, ce qui est la base des calculs littéraux, mais corsons un peu les choses !

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Les calculs littéraux : encore plus loin 🚀 !

Après avoir vu les bases, on va aller un peu plus loin et voir comment les lettres peuvent être utilisées dans tes cours de mathématiques.

L’expression littérale 🖋️

Une expression littérale peut s’apparenter à : A = 5a + 6b – 4 par exemple.

💡 Pour info

Une lettre est aussi appelée « variable » dans une expression littérale.

Il est primordial de mettre en ordre une expression, au risque de tout fausser ❌.

Pour cela, il faut ordonner de façon décroissante les exposants des variables.

Voici l’expression littérale B = 15 + 7x² – 3x + x³

Pour rendre que cette expression soit plus lisible et cohérente, il faut l’écrire sous cette forme : B = x³ + 7x² – 3x + 15. ✅

D’ailleurs, dans une expression littérale où le signe « – » est placé devant des parenthèses, il faut changer les signes des termes à l’intérieur de ces parenthèses.

Ex : B = (3x² + 5x² + x²) – (7x + 2x – 6)

B = 3x² + 5x² + x² – 7x – 2x + 6

B = 9x² – 9x + 6

Les identités remarquables 👀

Elles permettent d’accélérer des calculs, notamment pour résoudre des équations du second degré (x²). En bref, tu dois simplement les apprendre par cœur : les 3 identités remarquables que l’on va voir te permettront par la suite de développer ou factoriser en un seul coup. Finis les longs calculs !

Carré d’une différence ➖

(a-b)² = (a-b) (a-b) = a² – ab – ba + b²

Donc (a-b)² = a² – 2ab + b²

Le carré d’une somme ➕

(a+b)² = (a+b) (a+b) = a² + ab + ba + b²

Ce qui nous donne : (a+b)² = a² + 2ab + b²

Produit de la somme par la différence ➕➖

(a+b)(a-b) = a x a + a x (-b) + b x a + b x (-b) = a² – ab + ab – b²

Donc (a+b)(a-b) = a² – b²

Et voilà retiens ces trois résultats et tu feras des merveilles dans ton cours. D’ailleurs si tu souhaites t’améliorer, n’hésite pas à prendre des cours particuliers de maths en ligne avec l’un de nos Sherpas !

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Les équations 🟰

Finissons par un mot qui en effraie beaucoup, surtout au collège : les équations 😱 !

💡 Définition

Une équation lie des inconnues à des valeurs connues. Et pour le point historique, l’étude des équations (connue, aujourd’hui, sous le nom « algèbre ») a nettement progressé grâce aux recherches des mathématiciens arabo-persans 🌍.

Les équations du premier degré ♨️

Ce sont les équations qui s’écrivent sous la forme “ax + b = cx + d” où a, b, c et d sont des nombres tels que a≠b (a est différent de b). D’ailleurs, une équation du premier degré a une unique solution.

Passons à un exemple, afin que tu comprennes au mieux. Essayons de résoudre 6x – 7 = 4x + 3.

↪️ Info

Pour résoudre une équation du premier degré, on rassemble les variables avec l’exposant « x » ensemble, et d’un autre côté les variables sans exposant.

Pour faire passer une variable de l’autre côté du signe égal, il faut inverser son signe. ⛔

Dans notre cas, on met « 4x » à gauche et cela donne :

Premièrement, 6x – 7 – 4x = 3

Deuxièmement, on fait passer le « -7 » à droite, ce qui nous amène à :

6x – 4x = 3 + 7

Troisièmement, on calcule chaque côté :

2x = 10

Et pour finir, on divise par deux chaque côté de l’équation pour arriver à une solution où X est égal à un nombre, ce qui nous donne :

2x/2 = 10/2

X = 5

On peut même vérifier notre réponse en reprenant le problème de départ :

6 x 5 – 7 = 4 x 5 + 3

30 – 7 = 20 + 3

23 = 23

Ce qui est juste ! Félicitations à tous 🎉 !

Les équations du second degré 🥵

Quant aux équations du second degré, elles prennent la forme ax²+bx+c=0 (avec a qui est non nul). La première étape consiste à calculer le discriminant delta Δ. Pour se faire, il suffit d’appliquer cette formule : Δ = b² – 4ac.

Ensuite, selon le résultat, on va pouvoir en déduire le nombre de solutions à trouver.

❌ Si Δ < 0 : il n’y a aucune solution.

👍 Ou alors, si Δ = 0 : il y a une seule solution qu’on calculera avec x = -b/2a

🤞Et dernier cas de figure, si Δ > 0 : il y a deux solutions qu’on calculera avec x1 = (-b+√Δ)/(2a) et x2 = (-b – √Δ)/(2a).

💡Exemple

Calculons le discriminant 2×2 − x − 6 = 0.

On a donc, a = 2, b = -1 et c = -6

Ce qui donne, Δ = b2 – 4ac = (-1)2 – 4 x 2 x (-6) = 49. Comme Δ > 0, l’équation possède deux solutions distinctes :

x1 = (-(-1) + √49)) / 2 x 2

= (1+7) / 4

= 8/4

= 2

x2 = (-(-1) – √49)) / 2 x 2

= (1-7) / 4

= -6/4

= -3/2

Voilà, les deux solutions de cette équation du second degré sont : x1 = 2 et x2 = -3/2.

On a fait le tour des calculs littéraux et de tous les thèmes que tu aborderas au cours de ton année 📚 ! Et si tu ne comprends toujours rien à tout ce charabia, tu peux prendre des cours de maths avec les Sherpas !