🔢 Les nombres premiers {Fiche de mathématiques}

Aujourd’hui, on t’explique une notion essentielle en mathématiques : les nombres premiers ! Tu as sûrement déjà entendu parler de ces nombres mystérieux en cours, mais sais-tu à quoi ils servent et comment les reconnaître ? Pour ça, on t’a préparé une fiche de maths. Tu es prêt ? C’est parti ! 🚀

Quand tu cherches un nombre premier — *Toi cherchant les nombres premiers avant cette fiche de maths !*

Les nombres premiers, c’est quoi ? 👀

Définition 📖

Les nombres premiers ne sont divisibles que par 1 et par eux- mêmes. Ils occupent leur place dans la série infinie des nombres naturels, écrasés comme les autres entre deux semblables, mais à un pas de distance. Ce sont des nombres soupçonneux et solitaires.

Paolo Giordano

La Solitude des Nombres Premiers

Un nombre premier est un nombre entier naturel positif qui ne peut être divisible que par lui-même ou par 1.

Rappel 💡

Les nombres entiers naturels sont les nombres entiers compris entre 0 et l’infini.
La liste des nombres entiers naturels est donc 1, 2, 3, 4, 5, … , ∞

⚠️ Attention !

Malgré son nom qui suggère le contraire, 1 n’est pas un nombre premier. Il n’a pas deux diviseurs distincts vu que 1, c’est lui-même !

↪️ Exemple

19 est un nombre premier. Essaie de le diviser par un autre nombre que 1 et 19. Tu n’y arrives pas ? C’est normal, car c’est impossible !

$\frac{19}{1}=19 ; \frac{19}{19}=1$

Une infinité de nombres premiers ? 🤔

Les nombres premiers sont en quantité plus grande que toute quantité proposée de nombres premiers.

Euclide

Mathématicien

La liste des nombres premiers ! — *Quand tu listes les nombres premiers !*

Selon le théorème d’Euclide, il existe une infinité de nombres premiers ! On te le démontre par l’absurde.

Le raisonnement par l’absurde, c’est quoi ?💡

En mathématiques, le raisonnement par l’absurde consiste à démontrer qu’une proposition est vraie en montrant que son contraire est absurde.

Ici, on veut démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers.

On admet donc le contraire qui est qu’il existe un nombre fini de nombres premier et on les note :

$p_1, p_2, p_3, ..., p_n$

On forme le produit de ces nombres augmenté de 1 :

$p=p_1\times{p_2}\times{p_3}\times…\times{p_n}+1$

$\frac{p}{p_1}=\frac{{p_1}\times{p_2}\times{p_3}\times…\times{p_n}+1}{p_1} = p_2\times{p_3}\times…\times{p_n}+1$

Donc le reste de la division de p par $p_1$ est 1. Idem pour $p_2, p_3$ et cela jusqu’à $p_n$
Puisque p n’est divisible par aucun nombre premier, alors il est lui-même premier. Ce qui contredit l’hypothèse de départ, que $p_1, p_2, p_3,..., p_n$ contient tous les nombres premiers.

Il existe donc une infinité de nombres premiers. CQFD !

Pourquoi les nombres premiers sont-ils si importants ? 🫣

Bon d’accord, mais ça sert à quoi ? Eh bien, sache que les nombres premiers sont le fondement de l’arithmétique. Tout nombre se décompose en produits de plusieurs nombres premiers.

L’arithmétique, c’est quoi ? 💡

C’est la science des nombres. Tu étudies les propriétés des entiers naturels, des entiers relatifs et des nombres rationnels, et les propriétés des opérations sur ces nombres.

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Décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers ✖️

Tous les nombres non premiers se décomposent en produit de plusieurs nombres premiers.

↪️ Exemples

650 n’est pas premier. On le décompose au maximum en produit ! On y va par étape.

650 = 65 x 10

650 = 65 x 5 x 2

650 = 13 x 5 x 5 x 2

On ne peut pas aller plus loin. 13, 5 et 2 sont des nombres premiers.

79 est premier

79 = 79 x 1

Tu ne peux pas le décomposer plus !

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Comment reconnaître un nombre premier ? 🧐

Apprendre par cœur les nombres premiers de 1 à 100 💖

Et si tu apprenais par coeur les nombres premiers de 1 à 100 ? Ça te fait en connaître déjà 25 !

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

N’essaie pas de prédire les écarts des nombres premiers, il n’y a pas de suite logique. C’est un véritable mystère !

Crible d’Eratosthène 🧮

Le crible d’Eratosthène est une méthode qui te permet de déterminer une liste des nombres premiers. On t’explique !

👉 Tu écris les nombres entiers 1, 2, 3, 4, 5… jusqu’à 100 par exemple.

👉 Tu élimines 1.

👉 Tu effaces tous les multiples de 2 sauf 2 ! Eh oui, 2 est un nombre premier.

👉 Tu gardes 3, mais tu effaces tous les multiples de 3.

👉 Tu gardes 7, mais tu effaces tous les multiples de 3.

👉 Et tu fais ça jusqu’à ce que le nombre premier suivant soit supérieur à la racine carré du dernier nombre de ta liste (ici 100).

Or $11>\sqrt{100}$ .

Donc on s’arrête là !

Quand tu supprimes les nombres qui ne sont pas premiers. — *Quand tu vois que ce n’est pas un nombre premier !*

Le savais-tu ?💡

Il existe d’autres algorithmes pour reconnaître les nombres premiers, comme l’algorithme AKS ou encore le test de primalité de Solovay-Strassen.

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Vérifier la divisibilité du nombre ➗

Pour savoir si un nombre est premier, tu peux raisonner par le contraire. S’il est divisible par un autre nombre que lui-même et 1, alors il n’est pas premier.

Pour cela, il te faut vérifier sa divisibilité !

Quand tu revois tes tables ! — *On espère que tu connais mieux tes tables que ces deux-là !*

Divisible par 2 ?

Un nombre est divisible par 2 lorsqu’il termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. En gros, ce sont les nombres pairs.

↪️ Exemples

54 est divisible par 2

$27\times2=54$

14 est divisible par 2

$7\times2=14$

Divisible par 3 ?

Ici on te demande de connaître ta table de 3.

Rappel de la table de 3 ✖️

3×1 = 3
3×2 = 6
3×3 = 9
3×4 = 12
3×5 = 15
3×6 = 18
3×7 = 21
3×8 = 24
3×9 = 27
3×10 = 30

Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.

↪️ Exemples

795 est divisible par 3

$7+9+5=21$
$3\times7=21$

2868 est divisible par 3

$2+8+6+8=24$
$3\times6=24$

169 749 est divisible par 3

$1+6+9+7+4+9=36$
$3+6=9$
$3\times3=9$

Divisible par 4 ?

Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par les 2 derniers chiffres est divisible par 4.

Rappel de la table de 4 ✖️

4×1 = 4
4×2 = 8
4×3 = 12
4×4 = 16
4×5 = 20
4×6 = 24
4×7 = 28
4×8 = 32
4×9 = 36
4×10 = 40

↪️ Exemples

416 est divisible par 4

On prend les deux derniers chiffres qui forment le nombre 16

$4\times4=16$

65 876 528 est divisible par 4

On prend les deux derniers chiffres qui forment le nombre 28

$7\times4=28$

Divisible par 5 ?

Un nombre est divisible par 5 lorsqu’il termine par 0 ou 5.

↪️ Exemples

56 785 est divisible par 5

960 est divisible par 5

Divisible par 9 ?

Comme pour 3, un nombre est divisible par 9 quand la somme des chiffres est divisible par 9.

Rappel de la table de 9 ✖️

9×1 = 9
9×2 = 18
9×3 = 27
9×4 = 36
9×5 = 45
9×6 = 54
9×7 = 63
9×8 = 72
9×9 = 81
9×10 = 90

↪️ Exemples

207 est divisible par 9

$2+0+7=9$

58 707 est divisible par 9

$5+8+7+0+7=27$
$9\times3=27$

Divisible par 10 ?

Le plus simple ! Un nombre est divisible par 10 lorsqu’il termine par 0.

↪️ Exemple

829 830 est divisible par 10

Ne va pas chercher plus loin que ça !

Pour info 💡

👉 Les nombres divisibles par 4 sont divisibles par 2, car 2×2 = 4

👉 Les nombres divisibles par 9 sont divisibles par 3, car 3×3 = 9

👉 Les nombres divisibles par 10 sont divisibles par 5 et par 2, car 5×2 = 10

Donc, tu peux surtout vérifier la divisibilité par 2, 3 et 5 !

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Les nombres premiers particuliers 🤨

Nombres premiers de Mersenne

La formule des nombres premiers de Mersenne s’écrit :

$M_p=2^p-1$ où p est lui-même un nombre premier

Exemples

$M_2=2^2-1=4-1=3$
$M_3=2^3 - 1 = 8-1=7$
$M_5=2^5-1= 32-1=31$

Le savais-tu ? 💡

M_{43 112 609}= 2^{43 112 609} – 1 est le plus grand nombre premier connu. Il comporte 12 978 189 décimales. Rien que ça !

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Nombres premiers jumeaux

Les nombres premiers sont dits jumeaux s’ils ont un écart de 2.

Pour info 💡

Excepté pour 2 et 3 qui ont un écart de 1, le plus petit écart entre deux nombres premiers est de 2.

↪️ Exemples

3 et 5

5 et 7

11 et 13

Ici aussi, il en existe une infinité.

Nombres premiers et nombres de Fermat

La formule des nombres Fermat s’écrit :

$F_n=2^{2^n}+1$

Les seuls nombres de Fermat connus sont $F_0,F_1,F_2,F_3$ et $F_4$

$F_0 = 2^{2^0}+1=21+1=2+1=3$
$F_1 = 2^{2^1}+1=22+1=4+1=5$
$F_2=2^{2^2}+1=24+1=16+1=17$
$F_3 = 2^{2^3}+1=28+1=256+1=257$
$F_4=2^{2^4}+1=216+1=65 536+1=65 537$

Le savais-tu ? 💡

F₅ n’est pas premier, car il est divisible par 641. C’est le premier contre-exemple de la conjecture de Fermat découvert par Euler en 1732.

Quiz❓

Voilà, on arrive au bout de cette fiche de cours sur les nombres premiers ! On espère qu’elle t’a aidé à comprendre cette notion fondamentale. Si tu as des difficultés, n’hésite pas à prendre des cours de mathématiques avec un de nos Sherpas !