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Exercice d’application sur les structures algébriques :
⏰ Durée : 20 min
💪 Difficulté : 1/3
Soit
un groupe. Pour tout 
, on pose 
.
1. Que dire de 
lorsque G est abélien ?
2. Montrer que pour tout , est un automorphisme de groupes.
3. On note 
. Montrer que (
) est un groupe.
Corrigé de l’exercice d’application sur les structures algébriques
1. Si
est abélien, alors 
.
2.
. Soit 
. On a : ![\[ $\tau_y(x_1x_2) = yx_1x_2y^{-1} = yx_1y^{-1}yx_2y^{-1} = \tau_y(x_1)\tau_y(x_2)$. \]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-39bf4ec8310ad8698feaa20c4b1ef474_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
est un morphisme de groupe.
. Soit 
. On a : ![\[ $\forall x \in\ G$, $z=\tau_y(x) \Longleftrightarrow z=yxy^{-1} \Longleftrightarrow x=y^{-1}zy$. \]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-5f132b37b0ae2bf42cec534b0b5e1761_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
admet un unique antécédent par , ainsi est bijective.
On a montré que est un automorphisme de groupe et 
. On a montré que 
est un sous-groupe de l’ensemble des bijections de sur , donc c’est un groupe.
3. Il est clair que 
. Soit 
. Montrons que 
. Pour tout 
, on a :
![\[ $(\tau_{y_{1}} \circ \tau_{y_{2}}^{-1})(x) = (\tau_{y_{1}} \circ \tau_{{y_{2}}^{-1}})(x) = y_1y_2^{-1}xy_2y_1^{-1} = y_1y_2^{-1}x(y_1y_2^{-1})^{-1} = \tau_{y_1y_2^{-1}}(x)$. \]](https://sherpas.com/content/ql-cache/quicklatex.com-4f9857f3dc857e3d3f02ac96b70c7540_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
Cet article est extrait de l’ouvrage Maths MPSI-MP2I. Tout-en-un : cours, méthodes, entraînement et corrigés (éditions Vuibert, juin 2021) écrit par E. Thomas, S. Bellec, G. Boutard. ISBN n°9782311408720
